Logarithmische Integration, Herleitung

01.10.2005, 00:10

Andromache007

Logarithmische Integration, Herleitung

Hoi zämme

Hab mich neu registriert hier und gleich mal eine Frage:

f(x)=1/x
F(x)=ln(¦x¦)

Wie lässt sich das herleiten? Würde das gern Schritt für Schritt nachvollziehen können.

Genauso bei:

f(x)=g'(x)/g(x)
F(x)=ln(¦g(x)¦)

(wusste nicht recht, wie man Betragsstriche setzt, *schäm*, na egal)

Ich hoffe, es kann mir jemand helfen und tut es auch smile

Grüessli

Andromache

01.10.2005, 00:17

KimmeY

Auf diesen Beitrag antworten »

also, zu der aufgabe schrieb ich heute nichts mehr, bin schon mit einem fuß im bettchen Augenzwinkern

aber da findet sich sicher wer der das erklären kann....... zu den betragstrichen, wie du sicher selbst siehst wirkt das ganze so relativ unübersichtlich, deshalb kannste wenn du nen thema erstellst oder was beantwortest unter dem eingabefeld auf "Formeleditor" klciken, der macht dir dann ganz tolle formel, so dass es richtig ordentlich aussieht mit allem pipapo..... einfach mal testen, ist auch ganz schön zu handhaben smile

01.10.2005, 00:23

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, merci, das hab ich nicht gesehen. Man merkt, dass ich neu bin smile

01.10.2005, 01:14

Kricki

Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Ableitung der Umkehrfunktion

02.10.2005, 01:24

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, check ich nicht. die ableitung von welcher umkehrfunktion?

02.10.2005, 01:47

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

F(x)=ln(x)

es geht ja im endeffekt darum, zu verifizieren, dass F'(x)=1/x ist
das gab es aber schon öfters hier im board, bemühe doch erst mal die boardsuche

eine stammfunktion zu f(x)=g'(x)/g(x) findest du leicht durch substitution von u=g(x)
das führt dann sofort zu etwas inzwischen bekanntem

02.10.2005, 03:47

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, boardsuche bemüht, fündig bin ich nicht wirklich geworden. kann ja schon sein, dass sich irgendwo genau die antwort auf meine frage versteckt, aber ich bin nicht darauf gestossen.

hab zwar mehrmals gelesen, dass die ableitung von ln(x) eben 1/x ist, und manches darüber, nach welchen regeln ln-funktionen abgeleitet werden, aber nie WARUM das so ist.

dass 2x die ableitung von x^2 ist, kann man ja schön mit dem Differentialquotienten ausrechnen, hier bin ich aber ratlos.

welcher zusammenhang besteht denn zwischen ln(x) und seiner ableitung 1/x?

02.10.2005, 05:22

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt darauf an, wie der Logarithmus bzw. wie $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ bei dir definiert ist. Falls der Logarithmus als Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ definiert ist und $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ gilt, dann kannst du es entweder mit der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion machen oder so wie hier.
Falls du aber eine abweichende Definition hast, dann hilft dir das nicht weiter. Du müsstest uns halt nur mal die Definition nennen.

Gruß MSS

02.10.2005, 15:46

Kricki

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion besagt:

$\begin{eqnarray*} \varphi'(y) = \frac{1}{f'(\varphi(y))} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von f ist. In deinem Fall sind die nötigen Voraussetzungen (Bijektivität) erfüllt. Jetzt muss man nur noch wissen, dass ln die Umkehrfunktion von exp ist...

03.10.2005, 01:38

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

@mathespezialschüler

also:

erstmal: hab gelesen, dass wenn ich beweisen will, dass ln(x) abgeleitet 1/x ist, ich zuerst die differenzierbarkeit von ln(x) beweisen muss. wie mach ich das?

ok, dann, zur definiton von e^x: falls e^x nicht als umkehrfunktion von ln(x) definiert wäre, wie dann und was würde das ändern?
also, ich nehm jetzt mal e^x als umkehrfunktion von ln(x) an, kenn ja keine andere.

wie kommt man denn auf die definition von e als:
lim (n zu unendlich) (1+1/n)^n ???

(sorry, komm mit diesem formeleditor immer noch nicht zurecht)

zur ersten variante: satz über die ableitung der umkehrfunktion, den beweis dieses satzes check ich zwar nicht völlig, aber das lass ich mal weg. wie man damit die ableitung von ln(x) herleiten kann, hab ich kapiert.

dann zur variante mit dem differentialquotienten:

folgenden schritt hab ich nicht gecheckt:

von

f'(x) = (lim zu 0) ln(x+h)-ln(x)/h

zu

f'(x) = (lim zu 0) 1/h*ln(x+h/x)

???

ja, und dann versteh ich auch deine definition von e^a nicht. du hast es zwar im anderen thread erklärt, aber: was sind nullfolgen? und wie folgt aus der definition von e die von e^a, rechnerisch?

ja....das wärs dann....*g*....fragen über fragen, sorry, bin auf diesem gebiet nicht besonders bewandert.

03.10.2005, 02:41

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Andromache007
ok, dann, zur definiton von e^x: falls e^x nicht als umkehrfunktion von ln(x) definiert wäre, wie dann und was würde das ändern?

das hat hier nichts mit definition zu tun
für alle exponentialfunktionen ist der logarithmus zur entsprechenden basis die umkehrfunktion

Zitat:

wie kommt man denn auf die definition von e als:
lim (n zu unendlich) (1+1/n)^n ???

das ist eine definition, da kommt man nicht drauf, das legt man fest

Zitat:

(sorry, komm mit diesem formeleditor immer noch nicht zurecht)

man siehts, eigentlich ist er aber selbsterklärend

Zitat:

f'(x) = (lim zu 0) [ln(x+h)-ln(x)]/h

zu

f'(x) = (lim zu 0) 1/h*ln([x+h]/x)

???

wichtige klammern eingefügt, punkt vor strich beachten
stichwort: logarithmengesetze

mfg jochen

03.10.2005, 11:54

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst das mit dem

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\operatorname{e} \end{eqnarray*}$

ja auch nicht kennen/verstehen. Es war mehr so gedacht: Wenn du es kennst als Definition von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ , dann müssen wir daraus alles herleiten. Wenn du es nicht kennst, dann müssen wir es anders machen. Es geht darum, dass wir das, was wir herleiten wollen, aus den Definitionen machen müssen, die du kennst.

Zitat:

Original von Andromache007
ok, dann, zur definiton von e^x: falls e^x nicht als umkehrfunktion von ln(x) definiert wäre, wie dann und was würde das ändern?
also, ich nehm jetzt mal e^x als umkehrfunktion von ln(x) an, kenn ja keine andere.

Ok, $\begin{eqnarray*} f(x)=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ ist also als Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x)=\ln x \end{eqnarray*}$ definiert. Und wie ist $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ definiert?

Gruß MSS

PS: und wehe du sagst jetzt, ln x sei als Umkehrfunktion von e^x definiert, dann haben wir nämlich ein ordentliches Problem.

03.10.2005, 12:43

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

Hoi Jochen

Zitat:

das hat hier nichts mit definition zu tun für alle exponentialfunktionen ist der logarithmus zur entsprechenden basis die umkehrfunktion

das weiss ich, was meinst du, warum ich gefragt habe?

Zitat:

das ist eine definition, da kommt man nicht drauf, das legt man fest

aha. und welcher MAN gelangt denn zu der ehre, das festlegen zu dürfen? also neue frage: wie legt man das fest?

Zitat:

man siehts, eigentlich ist er aber selbsterklärend

überflüssige bemerkung. und wenn du findest, dass er selbsterklärend ist, dann lass doch bitte das "eigentlich" weg.

Zitat:

stichwort: logarithmengesetze

merci.

ansonsten: hast du etwas gegen mich? nur weil ich dir in mathe nicht ebenbürtig bin? ich will dich nicht dazu zwingen, mir zu helfen. wenn du keine lust hast, dann lass es. bemerkungen wie "man merkts" finde ich einfach deplatziert....auch wenn man es natürlich merkt, aber das hab ich ja schon selbst gesagt.

Hoi MMS

hmm, ich muss sie nicht kennen? und wenn ich sie kennen will?

ja, das wird alles ein bisschen kompliziert (für mich), weil ich wirklich nicht viel ahnung habe.

definiton von ln(x)

ja, ähmm

g(x)=lnx ist als die umkehrfunktion von f(x)=e^x definiert, aber das
war jetzt sicher nicht das, was du gemeint hast.

03.10.2005, 13:05

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
PS: und wehe du sagst jetzt, ln x sei als Umkehrfunktion von e^x definiert, dann haben wir nämlich ein ordentliches Problem.

Das habe ich ganz unten in meinem Beitrag sehr klein hingeschrieben. Dir ist doch klar, dass das so nicht geht oder??? Du kannst doch nicht $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ definieren, wenn du den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ noch gar nicht definiert hast! Und wenn du dann sagst, $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ , dann ist das ein Zirkelschluss. Das ist logisch nicht machbar, das ist einfach logisch falsch! Denn letztendlich sagst du damit:

$\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ .

Und damit definierst du einen Begriff über sich selbst, was logisch einfach nicht geht. Soll heißen: So kann ich dir auch nicht weiter helfen.
Und zu dem was Jochen sagte:

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

wie kommt man denn auf die definition von e als:
lim (n zu unendlich) (1+1/n)^n ???

das ist eine definition, da kommt man nicht drauf, das legt man fest

Wenn du da hinschreibst: "Wie kommt man auf die Definition ...", dann kann er gar nicht anders antworten. Eine Definition ist eine Festlegung. Wenn du wissen willst, wie man darauf kommt, dann müsstest du fragen: "Wie kommt man denn auf die folgende Darstellung von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

??"
Das kann man natürlich herleiten, vorausgesetzt man hat $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ vorher anders definiert!

Gruß MSS

03.10.2005, 14:21

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

Hoi MMS

Aber die "folgende Darstellung von e" IST ja laut Jochen eine Definition/Festlegung. Warum kann ich da nicht fragen, wie kommt man auf die Definition von e als...? Das ist reine Wortklauberei. Auch auf Festlegungen muss man erstmal kommen, sonst kann man sie gar nicht erst festlegen.

Ja gut, sonst kapier ich jetzt allmählich, was du mir sagen willst. Der Zirkelschluss war mir klar, aber ich weiss eben keine andere Definiton von ln(x). Aber: Zirkelschlüsse sind doch in sich logisch, oder nicht? Nur bringen sie einen nicht weiter.

Tja, man sollte immer das Kleingedruckte lesen, *g*.

Das heisst: Ich müsste jetzt für ln(x) eine Definition finden, die keine Definitionen voraussetzt, die ich nicht kenne? Und wie geh ich da jetzt vor?

Ebenso bei e^x, keine Ahnung, wie man das anders definieren kann.

Ok, da du ja mein Vorwissen oder vielmehr Nichtwissen nicht kennst, kannst du mir da wohl nicht weiterhelfen. Aber hast du trotzdem mal einen Tipp für andere Definitionen?

Noch eine allgemeine Frage: Wenn ich etwas beweisen will, dann muss ich alle in meinem Beweis angewendeten "Irgendwas" definiert haben? Ich kann ln nicht einfach als ln annehmen? Beweise beruhen also auf Definitionen. Und wenn man keine hat? Wo setzt man an?

03.10.2005, 14:47

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist quatsch. Auf Definitionen muss man nicht kommen. Definitionen sind einfach Festlegungen, die man zu akzeptieren hat. Die muss man nicht irgendwie herleiten können. Jochen hat nur gesagt, es sei eine Definition, weil du es gesagt hattest. Wenn du "Darstellung" gesagt hättest, dann hätte er sicher nicht "Definition" gesagt. Es ist richtig, du kannst es natürlich herleiten, aber, wie gesagt, erst dann, wenn du eine andere ordentliche Definition von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ hast.
Einen Tipp für eine Definition hab ich nicht. Ich kenne sehr viele mögliche Definitionen, von denen du einige nicht verstehen würdest.

Zitat:

Original von Andromache007
Das heisst: Ich müsste jetzt für ln(x) eine Definition finden, die keine Definitionen voraussetzt, die ich nicht kenne? Und wie geh ich da jetzt vor?

Wenn ich das richtig mitbekommen habe, bist du doch noch Schülerin, richtig? Und da würde ich dir dann sagen: Nimm die Definition aus dem Unterricht. Die musst du uns dann aber auch nennen.

Zitat:

Original von Andromache007
Noch eine allgemeine Frage: Wenn ich etwas beweisen will, dann muss ich alle in meinem Beweis angewendeten "Irgendwas" definiert haben? Ich kann ln nicht einfach als ln annehmen? Beweise beruhen also auf Definitionen. Und wenn man keine hat? Wo setzt man an?

Ja, das musst du. Natürlich kannst du den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ nicht einfach als $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ "nehmen", was ich mal als "definieren" interpretiere. Beweise beruhen nicht unbedingt auf Definitionen, aber auf jeden Fall auf sogenannten Axiomen. Das zu erklären, ginge jetzt aber absolut zu weit. Definitionen sind entweder nur Vereinfachung oder Einführungen von etwas neuem wie z. B. $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ (was aber letztendlich eigentlich auch wieder nur eine Vereinfachung ist, aber du solltest es mal als "Einführung von etwas neuem" betrachten).
Und wenn man keine Axiome oder Definitionen hat, dann kann man halt nichts beweisen. Du kannst nichts über $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ beweisen, bevor du es nicht definiert hast.

Gruß MSS

03.10.2005, 15:46

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

ist f(x)=e^x jetzt als umkehrfunktion von g(x)=lnx definiert oder nicht?

du schreibst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ ist also als Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x)=\ln x \end{eqnarray*}$ definiert.

jochen schreibt:

Zitat:

das hat hier nichts mit definition zu tun
für alle exponentialfunktionen ist der logarithmus zur entsprechenden basis die umkehrfunktion

was jetzt???

definitionen sind festlegungen. ok. aber irgendjemand hat die ja mal festgelegt. und der muss ja irgendwie darauf gekommen sein....

und wenn ich schreibe: "wie kommt man auf die definition von e als...", dann kann jochen gar nicht anders darauf antworten als " das ist eine definition, da kommt man nicht drauf, das legt man fest", OBWOHL das gar KEINE definition ist???

was bedeutet denn := ???

also: wir haben ln(x) so definiert, dass e^y=x ist, mehr weiss ich nicht über ln

ähhm, du kannst gar nicht mitbekommen haben, dass ich eine schülerin bin, ich hab doch gar nichts gesagt. aber, nein, das ist falsch. ich bin keine schülerin mehr. tut aber ja nichts zur sache.

merci auf jeden fall, dass du immer noch so geduldig bist, mir zu helfen.

03.10.2005, 16:27

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Andromache007
du schreibst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ ist also als Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x)=\ln x \end{eqnarray*}$ definiert.

jochen schreibt:

Zitat:

das hat hier nichts mit definition zu tun
für alle exponentialfunktionen ist der logarithmus zur entsprechenden basis die umkehrfunktion

was jetzt???

definitionen sind festlegungen. ok. aber irgendjemand hat die ja mal festgelegt. und der muss ja irgendwie darauf gekommen sein....

Jochen meint damit eigentlich auch, dass der Logarithmus nach Definition die Umkehrfunktion ist zur Exponentialfunktion.
Derjenige, der das festegelegt hat, der hat das einfach aufgeschrieben und dann war's ne Definition. Sicher, die holt man nicht aus dem Nichts. Ich erklär's mal am Bsp. des Logarithmus: Man brauchte irgendwann halt mal Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} 5=\operatorname e^x \end{eqnarray*}$ z.B. . Und da man das vll sehr oft brauchte, hat man sich halt eine Funktion definiert, die einem das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt, in dem Fall gilt dann $\begin{eqnarray*} x=\ln 5 \end{eqnarray*}$ . Und mit gewisser Theorie konnte man dann auch diese Werte auch berechnen. Dass du z. B. eine solche Gleichung lösen kannst, liegt ja nur daran, dass der Taschenrechner den Logarithmus berechnen kann und das liegt daran, dass der so oft gebraucht wird. Deshalb wurde er halt definiert.

Zitat:

Original von Andromache007
und wenn ich schreibe: "wie kommt man auf die definition von e als...", dann kann jochen gar nicht anders darauf antworten als " das ist eine definition, da kommt man nicht drauf, das legt man fest", OBWOHL das gar KEINE definition ist???

was bedeutet denn := ???

Doch, wenn du schreibst: "Wie kommt man auf die Definition von $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ als ... ", dann ist es eine Definition, weil da das Wort "Definition" steht. Hammer

$\begin{eqnarray*} a:=b \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist nach Definition gleich $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Andromache007
also: wir haben ln(x) so definiert, dass e^y=x ist, mehr weiss ich nicht über ln

Das heißt, ihr habt also $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ tatsächlich als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion definiert. So und jetzt müssten wir noch wissen, wie ihr $\begin{eqnarray*} \operatorname e^x \end{eqnarray*}$ definiert habt.

Das mit der Schülerin hab ich mehr oder weniger geraten. Bist du vll Studentin bzw. warum beschäftigst du dich denn damit? Bei ein paar mehr Informationen könnte man vll auch etwas besser helfen. Augenzwinkern

Gruß MSS

03.10.2005, 17:46

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

also irgendwie widersprichst du dir:

jetzt will ich mal eine klare antwort: ist folgende darstellung eine definition von e????

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

da sie das meiner meinung nach ist (a:=b, a ist nach definition gleich b, heisst ja so viel, wie: a ist definiert als b) und da man sie herleiten kann, wenn man e anders definiert, wie du selbst sagst, heisst das folglich, dass man definitionen herleiten kann, da "folgende darstellung" (gleich) "eine definition" ist.

by the way:

nur weil ich "definition" schreibe, heisst das noch lange nicht, dass das, was ich als definition beschreibe, auch eine ist. oder glaubt ihr mir alles? Augenzwinkern

Zitat:

Jochen meint damit eigentlich auch, dass der Logarithmus nach Definition die Umkehrfunktion ist zur Exponentialfunktion.

also, das ist jetzt ein bisschen unfair. nur weil jochen jochen ist, meint er eigentlich immer alles richtig und ich verstehe alles eigentlich immer falsch?

hmmm, $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ haben wir so definiert:

$\begin{eqnarray*} e^{lnx}=x \end{eqnarray*}$

krieg bitte keine krise...!!! Augenzwinkern

nein, also, ich hab nachgeguckt, wie wir das definiert haben. fazit:
$\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ haben wir nie definiert, definiert haben wir allgemein alle exponentialfunktionen und zwar so:

funktionen in der form $\begin{eqnarray*} y=a^{x}, a\neq 1, a>0 \end{eqnarray*}$ heissen exponentialfunktionen mit der basis a

folgerung:

$\begin{eqnarray*} y=e^x \end{eqnarray*}$ ist eine exponentialfunktion mit der basis e, was jetzt so gut wie nichts aussagt, aber sorry, ich hab keine andere definition.

zu meiner person: ich werde in gut einem monat anfangen physik zu studieren. am gymnasium hatte ich schwerpunktfach latein und nicht mathe/physik. hab in der letzten woche einen mathematischen vorkurs für die uni gemacht und da wurden einfach gewisse dinge vorausgesetzt. z.b. dass man weiss, warum lnx abgeleitet 1/x ist. ja und noch so manches andere. ich hoffe einfach, dass das studium die infinitesimalrechnung von grund aufbaut, sonst bin ich aufgeschmissen. von physik hab ich nämlich noch weniger ahnung. (deswegen will ich es ja auch studieren, aber am anfang wirds wohl ein bisschen schwierig mit nachkommen)

woher hast du denn dein immenses mathewissen? lernt ihr das alles auf eurem mathematisch-naturwissenschaftlichen-gym?

03.10.2005, 18:12

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, du brauchst keine Angst haben: Im Studium fängt man nochmal ganz von vorn an! Augenzwinkern

Zitat:

Original von Andromache007
also irgendwie widersprichst du dir:

jetzt will ich mal eine klare antwort: ist folgende darstellung eine definition von e????

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

da sie das meiner meinung nach ist (a:=b, a ist nach definition gleich b, heisst ja so viel, wie: a ist definiert als b) und da man sie herleiten kann, wenn man e anders definiert, wie du selbst sagst, heisst das folglich, dass man definitionen herleiten kann, da "folgende darstellung" (gleich) "eine definition" ist.

Nein! Das verstehst du leider vollkommen falsch. Du darfst das mit dem $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ nicht so verstehen, dass das jetzt für alle Menschen gilt. Ich versuch das mal mit Personen: Angenommen, wir haben zwei Professoren A und B. Professor A definiert in seiner Vorlesung die Zahl $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ als

$\begin{eqnarray*} \operatorname e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Der Professor B allerdings definiert $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ anders, z. B. durch $\begin{eqnarray*} \operatorname e:=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}\right) \end{eqnarray*}$ . Dann ist für den Professor A die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \operatorname e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

eine Definition und für Professor B ist es eine andere Darstellung. Professor B muss diese Darstellung aber noch beweisen. Allerdings beweist er keine Definition, denn das war ja nicht seine Definition. Du musst dich in die Lage von Professor B versetzen. Das ist wie in der Physik mit Bezugssystemen. Professor B beweist zwar eine Definition, das ist aber die Definition von Professor A. In dem mathematischen (Bezugs)system (das nenne ich nur der Analogie zum physikalsichen Bezugssystem so!) von Professor B beweist er aber keine Definition, weil Professor A da nichts zu suchen hat.
Bei Professor A ist es ganz ähnlich. Es ist so, dass für ihn die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \operatorname e=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}\right) \end{eqnarray*}$

eine andere Darstellung ist, die er beweisen muss. Aber auch er beweist keine Definition, denn er hatte $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ ja anders definiert in seinem mathematischen (Bezugs)system. Die beiden Professoren zeigen zusammen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\Leftrightarrow\operatorname e=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}\right) \end{eqnarray*}$

gilt, dass also die beiden Darstellungen die gleiche Zahl liefern. Aber Definitionen haben sie jeweils nicht bewiesen.

Zitat:

Original von Andromache007

Zitat:

Jochen meint damit eigentlich auch, dass der Logarithmus nach Definition die Umkehrfunktion ist zur Exponentialfunktion.

also, das ist jetzt ein bisschen unfair. nur weil jochen jochen ist, meint er eigentlich immer alles richtig und ich verstehe alles eigentlich immer falsch?

Nein, du hast nichts falsch verstanden. Jochen hat sich einfach etwas ungenau ausgedrückt.

Zitat:

Original von Andromache007
$\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ haben wir nie definiert, definiert haben wir allgemein alle exponentialfunktionen und zwar so:

funktionen in der form $\begin{eqnarray*} y=a^{x}, a\neq 1, a>0 \end{eqnarray*}$ heissen exponentialfunktionen mit der basis a

folgerung:

$\begin{eqnarray*} y=e^x \end{eqnarray*}$ ist eine exponentialfunktion mit der basis e, was jetzt so gut wie nichts aussagt, aber sorry, ich hab keine andere definition.

Das einzige, was wir jetzt noch bräuchten, wäre die Definition der Zahl $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ selbst. Das könnte natürlich schwierig werden, weil ihr die im Unterricht wahrscheinlich nicht sauber definiert habt, sondern einfach gesagt habt, es ist $\begin{eqnarray*} \operatorname e=2,718281828\ldots \end{eqnarray*}$ . In dem Falle müsstest du dir dann halt ne Definition aussuchen, wobei es da viele Möglichkeiten gibt. Unter anderem z. B. diese.

Zitat:

Original von Andromache007
woher hast du denn dein immenses mathewissen? lernt ihr das alles auf eurem mathematisch-naturwissenschaftlichen-gym?

Nein, ganz so krass is die Schule dann doch nicht. Das hab ich mir alles erlesen. Ich hab auch hier in dem Board einiges gelernt. Augenzwinkern

Gruß MSS

03.10.2005, 18:25

Peterpan3456

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht mal was zum ursprünglichen Thema:

Wenn exp die Umkehrfunktion zu ln ist gilt doch (zumindest für x>0)

$\begin{eqnarray*} \exp (\ln x)=x \end{eqnarray*}$

TiPP: Einfach mal ableiten (auf der linken Seite die Kettenregel beachten)

03.10.2005, 18:34

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Peterpan
Das hatten wir ganz oben schon! Augenzwinkern

Zitat:

Original von Andromache007
zur ersten variante: satz über die ableitung der umkehrfunktion, den beweis dieses satzes check ich zwar nicht völlig, aber das lass ich mal weg. wie man damit die ableitung von ln(x) herleiten kann, hab ich kapiert.

Und mMn sind wir immernoch beim ursprünglichen Thema!!

Gruß MSS

03.10.2005, 19:53

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

gott sei dank, jetzt hab ich das endlich kapiert; das mit den definitionen. ich hab schon gedacht, wir reden völlig aneinander vorbei, *g*, war ja auch so teilweise... smile

hat sich nun zum glück geklärt.

also, dann such ich mir mal meine eigene definiton von $\begin{eqnarray*} {e} \end{eqnarray*}$ aus *g*

ich kann mich dunkel daran erinnern, dass wir diese darstellung mal hergeleitet haben, aber ich weiss nicht mehr von welcher definiton von $\begin{eqnarray*} {e} \end{eqnarray*}$ wir ausgegangen sind:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

tja, was nehmen wir denn da?, obiges als definiton?

dann wären wir wieder hier:

$\begin{eqnarray*} ln'(x)=\lim_{h\to\infty}ln[(1+\frac{1}{x}*h)^\frac{1}{h}] \end{eqnarray*}$

und jetzt wie weiter?

wie man von der definition von $\begin{eqnarray*} {e} \end{eqnarray*}$ auf diejenige von $\begin{eqnarray*} e^a \end{eqnarray*}$ kommt, kapier ich nicht.

oder soll ich $\begin{eqnarray*} {e} \end{eqnarray*}$ lieber anders definieren? ich hab keine ahnung.

03.10.2005, 21:44

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Andromache007
wie man von der definition von $\begin{eqnarray*} {e} \end{eqnarray*}$ auf diejenige von $\begin{eqnarray*} e^a \end{eqnarray*}$ kommt, kapier ich nicht.

oder soll ich $\begin{eqnarray*} {e} \end{eqnarray*}$ lieber anders definieren? ich hab keine ahnung.

Wie du es definierst, ist deine Sache. Als erstes geht natürlich wieder das mit der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion.
Das andere ist etwas schwieriger. Aber zunächst ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}(1+a\cdot h)^{\frac{1}{h}}=\operatorname e^a \end{eqnarray*}$

keine Definition mehr, sondern das muss man dann wieder beweisen. Augenzwinkern

Das ist nicht allzu einfach, dazu braucht man etwas Rechnung. Das kann ich dir leider nicht vorführen (is zu viel). Deswegen folgendes, vll reicht es dir als Erklärung, auch wenn es mathematisch nicht ganz korrekt ist, aber es ist etwas einfacher: Zunächst gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^n}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-1+1}{n-1}\right)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\cdot \left(1+\frac{1}{n-1}\right)\right]}=\frac{1}{\operatorname e}=\operatorname e^{-1} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}=\left(\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)^{-1}=\left(\operatorname e^{-1}\right)^{-1}=\operatorname e \end{eqnarray*}$

Wir wissen also

$\begin{eqnarray*} \text{(1)}\quad \operatorname e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt tricksen wir etwas:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{\frac{n}{a}}\right)^a \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir $\begin{eqnarray*} k=\frac{n}{a} \end{eqnarray*}$ setzen, dann geht auch $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ . Also können wir folgern

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{\frac{n}{a}}\right)^a=\left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)^a=\operatorname e^a \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ und wieder $\begin{eqnarray*} k=\frac{n}{a} \end{eqnarray*}$ . Dann geht $\begin{eqnarray*} k\to -\infty \end{eqnarray*}$ . Also folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{\frac{n}{a}}\right)^a=\left(\lim_{k\to -\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)^a=\operatorname e^a \end{eqnarray*}$ .

Jetzt brauchen wir es noch für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , das ist aber trivial. Denn für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{0}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}1^n=1=\operatorname e^0 \end{eqnarray*}$ .

Wir haben jetzt also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+a\cdot \frac{1}{n}\right)^n=\operatorname e^a \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Wenn wir $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ setzen, dann geht $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Wir können das also auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}(1+ah)^{\frac{1}{h}}=\operatorname e^a \end{eqnarray*}$

Und da haben wir unser Ergebnis. Augenzwinkern

Gruß MSS

04.10.2005, 23:51

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

ahja, klar, beweisen, hab ich schon wieder verwechselt, ist irgendwie noch nicht in meinem kopf abgespeichert, aber wenigstens hab ich es jetzt theoretisch kapiert, die definitionensache Augenzwinkern

hab mal eine grundsätzliche frage:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

warum strebt dieser wert gegen e und nicht gegen 1?

dann zu deiner erklärung:

warum ist denn

$\begin{eqnarray*} {\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ ???

und sollte hier nicht beim ersten wert n gegen + unendlich und beim zweiten n gegen - unendlich streben?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$

ja, das war so das, was ich nicht verstanden habe.

gut, dann hätten wir jetzt das hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}(1+ah)^{\frac{1}{h}}=\operatorname e^a \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} ln'(x)=\lim_{h\to\infty}ln[(1+\frac{1}{x}*h)^\frac{1}{h}] \end{eqnarray*}$

daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} ln'(x)=\lim_{h\to\infty}ln[(1+ah)^\frac{1}{h}]=\lim_{h\to\infty}ln(e^{a}) \end{eqnarray*}$ , wobei a=1/x

das heisst:
$\begin{eqnarray*} ln'(x)=\lim_{h\to\infty}ln(e^{\frac{1}{x}})=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

quod erat demonstrandum smile

ist der beweis so schlüssig und richtig???

05.10.2005, 00:23

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Andromache007
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

warum strebt dieser wert gegen e und nicht gegen 1?

Tja, das ist nunmal so. $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ geht zwar gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , aber der Exponent $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geht ja gegen unendlich. D. h., dass du etwas, was nah an, aber größer als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, sehr sehr oft mit sich selbst multiplizierst. Deswegen geht das nicht gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Andromache007
warum ist denn

$\begin{eqnarray*} {\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ ???

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\cdot \left(1+\frac{1}{n-1}\right)\right] \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , dann geht auch $\begin{eqnarray*} (n-1)\to\infty \end{eqnarray*}$ . Also ist das

$\begin{eqnarray*} =\lim_{(n-1)\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\cdot \left(1+\frac{1}{n-1}\right)\right] \end{eqnarray*}$

Und jetzt substituiere $\begin{eqnarray*} k=n-1 \end{eqnarray*}$ . Dann steht da

$\begin{eqnarray*} =\lim_{k\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot \left(1+\frac{1}{k}\right)\right]=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

Und dass das

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

ist, ist ja ganz klar, das ist ja einfach nur eine andere Variablenbezeichnung.

Zitat:

Original von Andromache007
und sollte hier nicht beim ersten wert n gegen + unendlich und beim zweiten n gegen - unendlich streben?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$

Nein, warum?

Zitat:

Original von Andromache007
$\begin{eqnarray*} ln'(x)=\lim_{h\to\infty}ln[(1+ah)^\frac{1}{h}]=\lim_{h\to\infty}ln(e^{a}) \end{eqnarray*}$ , wobei a=1/x

das heisst:
$\begin{eqnarray*} ln'(x)=\lim_{h\to\infty}ln(e^{\frac{1}{x}})=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Zunächst geht $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} h\to\infty \end{eqnarray*}$ !!!
In der ersten Zeile hast du ja schon $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gehen lassen, dann muss der Limes danach aber auch weg!! Du solltest übrigens noch einen Zwischenschritt aufschreiben, der die Stetigkeit des Logarithmus nutzt. Sei $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Dann alles nochmal ordentlich aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \ln'x=\lim_{h\to 0}\ln\left[\left(1+\frac{1}{x}\cdot h\right)^{\frac{1}{h}}\right]=\lim_{h\to 0}\ln\left[(1+ah)^{\frac{1}{h}}\right] \end{eqnarray*}$

Jetzt zu dem angesprochenen Zwischenschritt und außerdem die nächsten Schritte:

$\begin{eqnarray*} =\ln\left[\lim_{h\to 0}(1+ah)^{\frac{1}{h}}\right]=\ln\left(\operatorname e^a\right)=\ln\left(\operatorname e^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

So ungefähr sollte das aussehen. Augenzwinkern

Gruß MSS

05.10.2005, 00:56

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zunächst geht $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} h\to\infty \end{eqnarray*}$ !!!

och herjemijeee, *g*, jetzt wirds immer besser, ich steh wohl ein bisschen neben mir, schieb aber die schuld mal auf diesen formeleditor. das geht bei mir immer ellenlang, bis ich das eingetippt hab, dass ich am schluss einfach froh bin, wenn überhaupt was fettgedruckt dasteht Augenzwinkern

Zitat:

Und jetzt substituiere $\begin{eqnarray*} k=n-1 \end{eqnarray*}$ . Dann steht da

$\begin{eqnarray*} =\lim_{k\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot \left(1+\frac{1}{k}\right)\right]=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

müsste hier jetzt am schluss nicht hoch k+1 stehen? aber ich nehm mal an, das tut dann auch nichts mehr zur sache, weil es in der unendlichkeit auf eins mehr oder weniger nicht mehr ankommt....

Zitat:

Nein, warum?

weil ich das logischer fände Augenzwinkern

, bzw. es andersrum nicht so ganz kapiert habe...

schön schön, hätten wir diesen beweis doch noch dahergebrösmelt Augenzwinkern

, bzw. insbesondere du hast das getan *g*, aber ich konnte es wenigstens nachvollziehen (das meiste), merci.

05.10.2005, 01:09

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte dir ja gerade zeigen, dass die 1 im Unendlichen nichts ausmacht, weil du ja oben genau das wohl nicht verstanden hattest. Es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)=1 \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot 1=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$ .

Und zu dem anderen: Was verstehst du denn daran nicht?

Gruß MSS

05.10.2005, 01:39

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot 1=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$ .

ja, ich hab verstanden, dass du mir zeigen wolltest, dass 1 im unendlichen nichts ausmacht. aber das ist dann ja nicht so ganz schlüssig aufgeschrieben.

du kannst diesen wert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} (1+\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$

doch nicht einfach = 1 setzen, sonst wäre ebendieserr wert hoch k ja auch 1.

hmm, aber sonst versteh ichs, doch.

zum anderen:

ich versteh folgendes nicht:

du sagst: zunächst gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1} \end{eqnarray*}$

das hab ich jetzt verstanden. aber warum folgt daraus?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$

das weitere hab ich dann schon verstanden, nur den anfang eben nicht. warum nich hoch -n schon beim ersten wert?

05.10.2005, 01:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ gehen lasse, dann geht doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}\to 0 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Andromache007
du kannst diesen wert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} (1+\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$

doch nicht einfach = 1 setzen, sonst wäre ebendieserr wert hoch k ja auch 1.

Ja, das stimmt. Dann wäre tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^k=1 \end{eqnarray*}$

und das stimmt ja auch, aber es ist

$\begin{eqnarray*} 1=\left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^k\neq \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\operatorname e \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Andromache007
du sagst: zunächst gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1} \end{eqnarray*}$

das hab ich jetzt verstanden. aber warum folgt daraus?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$

So meinte ich das nicht. Das erste Gleichheitszeichen in dieser Zeile folgt ja nicht daraus, sondern das dritte. Das erste war nur eine Umformung.
Warum da nicht beim ersten schon hoch $\begin{eqnarray*} -n \end{eqnarray*}$ steht? Weil ich das nicht berechnen wollte. Ich wollte nunmal

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

berechnen und nicht

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$ .

Und das Gleichheitszeichen kommt so: Setze $\begin{eqnarray*} k=-n \end{eqnarray*}$ , dann geht $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} n\to -\infty \end{eqnarray*}$ . Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to -\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{-k}\right)^{-k}=\lim_{k\to\infty}\left(1-\frac{1}{k}\right)^{-k} \end{eqnarray*}$ .

Und ob ich nun wieder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nehme, ist egal, weil es einfach eine Variablenbenennung ist.

Gruß MSS

05.10.2005, 02:50

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1=\left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^k\neq \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\operatorname e \end{eqnarray*}$ .

da hakt es bei mir immer noch. ich verstehe den unterschied zwischen den beiden darstellungen nicht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\operatorname e \end{eqnarray*}$

das könnte man doch auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}[\left(1+\frac{1}{k}\right)*\left(1+\frac{1}{k}\right)*\left(1+\frac{1}{k}\right)*...] \end{eqnarray*}$

wobei die anzahl faktoren = k

jeder faktor wäre $\begin{eqnarray*} =\lim_{k\to\infty}(1+\frac{1}{k})=1 \end{eqnarray*}$

also müsste doch auch der gesamtausdruck 1 sein und nicht e. ???

1 k-mal mit sich selbst multipliziert gibt 1, hmmm...

kann man diesen wert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}(1+\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$

wirklich gleich 1 setzen?

deswegen hab ich ja gefragt warum dieser wert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

gegen e und nicht gegen 1 strebt. du hast geantwortet:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ geht zwar gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , aber der Exponent $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geht ja gegen unendlich. D. h., dass du etwas, was nah an, aber größer als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, sehr sehr oft mit sich selbst multiplizierst. Deswegen geht das nicht gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

=1 oder >1???

05.10.2005, 02:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Faktoren gehen zwar alle gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , aber, wie gesagt, die Anzahl der Faktoren geht gegen unendlich. Z. B. ist

$\begin{eqnarray*} a_{1000}=1,001^{1000}\approx 2,716 \end{eqnarray*}$ ,

weil du halt 1000-mal $\begin{eqnarray*} 1,001 \end{eqnarray*}$ mit sich selbst multiplizierst.
Übrigens, wenn du möchtest, dann kann ich dir auch beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\geq 2 \end{eqnarray*}$

ist für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ! Und ich kann dir sogar beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . D. h. die Zahlenfolge

$\begin{eqnarray*} a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

ist streng monoton wachsend! Dann musst du es einfach glauben. Big Laugh

Gruß MSS

05.10.2005, 03:08

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

hehe, na, dann beweis mal schön Augenzwinkern

. ich mag beweise *g*

aber erklär mir erst noch den unterschied zwischen den beiden darstellungen.

müsste dieser wert nicht auch e sein und nicht 1:

$\begin{eqnarray*} \left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^k \end{eqnarray*}$ .

???

so, aber vorerst geh ich mal schlafen Augenzwinkern

. gute nacht.

05.10.2005, 03:11

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Bei

$\begin{eqnarray*} \left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^k \end{eqnarray*}$ ,

da berechnest du zuerst $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right) \end{eqnarray*}$ und dann potenzierst du das Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .
Bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$ ,

da berechnest du zuerst $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$ und bildest von dem ganzen den Limes.

Gruß MSS

05.10.2005, 07:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Armdrücken Basis gegen Exponent - ein spannender Wettkampf!
Bleiben Sie dran!

$\begin{eqnarray*} \text{erstens} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{987654321} = 1 \end{eqnarray*}$

Die erste Runde ging klar an die Basis!

$\begin{eqnarray*} \text{zweitens} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{987654321} \right)^k = \infty \end{eqnarray*}$

Basis chancenlos! Eindeutiger Gewinner der zweiten Runde ist der Exponent!

$\begin{eqnarray*} \text{drittens} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k = \operatorname{e} \end{eqnarray*}$

Keiner kann sich durchsetzen. Nach unendlich vielen Runden einigen sich die Kontrahenten auf ein Unentschieden.

Übrigens lebt die ganze Differentialrechnung von diesem Kampf, und zwar in der Gestalt "Zähler 0 gegen Nenner 0". Und je nachdem, wie der Kampf ausgeht, bekommt man die unterschiedlichen Steigungen des Graphen der Funktion.

05.10.2005, 12:23

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nein. Bei

$\begin{eqnarray*} \left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^k \end{eqnarray*}$ ,

da berechnest du zuerst $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right) \end{eqnarray*}$ und dann potenzierst du das Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Um deinen Standpunkt, den ich nachvollziehen kann, deutlich zu machen, hast du aber ein bisschen getrickst. Bei deinem Term
$\begin{eqnarray*} \left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Der Limes ist tatsächlich 1, aber ohne festzulegen was das äußere k ist, kannst du dem Gesamtterm "eigentlich" keinen Wert zuweisen. Letztendlich hast du aber dennoch Recht, weil $\begin{eqnarray*} 1^k = 1\quad \forall k \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt. Sowas kann Verwirrung stiften. smile

05.10.2005, 12:37

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@papahuhn
Das weiß ich selbst, aber hätte ich das angesprochen, dann hätte ich ihr sagen müssen, dass dieser Term gar keinen Wert hat, weil das äußere $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ in der Tat nicht definiert ist. Nur hatte ich das Gefühl, dass das noch mehr Verwirrung gestiftet hätte. Augenzwinkern

Gruß MSS

05.10.2005, 14:49

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Da fällt mir ein; ist $\begin{eqnarray*} 1^z = 1 \end{eqnarray*}$ in jedem Zweig? Wenn ich Leopold in einem anderen Thread richtig verstanden habe, ist
$\begin{eqnarray*} 1^z = exp(z * log(1)) = exp(z * 2\pi k) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} z = \frac {\operatorname i} {2\pi} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} exp(z * 2\pi k) = exp(k\operatorname i) = cos(k) + \operatorname i sin(k) \end{eqnarray*}$ ?

Edit:
Jetzt ist schon ein drittes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ im Spiel. Big Laugh

Edit2:
Angeblich ein $\begin{eqnarray*} \operatorname i \end{eqnarray*}$ vergessen.
$\begin{eqnarray*} 1^z = exp(z * log(1)) = exp(z * 2\pi k \operatorname i) = exp (k {\operatorname i}^2) = e^{-k}, \quad z = \frac {\operatorname i} {2\pi}, \quad k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

05.10.2005, 15:04

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast noch ein $\begin{eqnarray*} \operatorname i \end{eqnarray*}$ vergessen. Aber du hast Recht, ja. Nur ist das Off-Topic und ich dachte sowieso nur an reelle Exponenten.

@Andromache007
Hast du es denn jetzt verstanden, nachdem Leopold mal wieder seine pädagogischen Fähigkeiten eingesetzt hat? Augenzwinkern

Gruß MSS

06.10.2005, 00:31

Andromache007

Auf diesen Beitrag antworten »

@leopold

danke für deine anschauliche, dramatische erklärung Augenzwinkern

@mms

ähmm, jaaa, hab ich. nur eine kleinigkeit aus leopolds darlegung nicht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{987654321} = 1 \end{eqnarray*}$

müsste man diese gleichung jetzt nicht so schreiben:

$\begin{eqnarray*} (\lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right))^{987654321} = 1 \end{eqnarray*}$

damit sie stimmt? @leopold

sonst bekämen wir doch etwas, das minim grösser ist als 1. oder nicht? falls nicht, hab ichs wohl doch noch nicht so ganz begriffen.

und noch dazu:

Zitat:

Das weiß ich selbst, aber hätte ich das angesprochen, dann hätte ich ihr sagen müssen, dass dieser Term gar keinen Wert hat, weil das äußere in der Tat nicht definiert ist. Nur hatte ich das Gefühl, dass das noch mehr Verwirrung gestiftet hätte.

nein, das ist schon gut, dass ich das jetzt weiss. verwirrt mich nicht.

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Logarithmische Integration, Herleitung

Verwandte Themen