Logarithmische Integration, Herleitung - Seite 2

06.10.2005, 00:42

Mathespezialschüler

MSS trifft meinen Namen eher als MMS. Augenzwinkern

Zu deiner Frage: Nein,

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{987654321}=\lim_{k\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^{987654321}\right)=1 \end{eqnarray*}$

ist schon richtig. Es ist nur so, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^{987654321}\right)=\left(\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^{987654321} \end{eqnarray*}$

gilt. Dass wir diesmal den Grenzwert 1 haben, liegt daran, dass wir nur endlich viele Faktoren hat und jeder gegen 1 geht. Es sind zwar sehr viele, aber eben doch nur endlich viele! Bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

hingegen geht aber der Exponent, also die Anzahl der Faktoren, gegen unendlich und deshalb geht das Produkt nicht gegen 1!!!

Gruß MSS

06.10.2005, 10:55

Andromache007

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Hoi Sms

Kannst du mir das beweisen? *g* Nein, ok. Ich werde das so als Erklärung annehmen. Mir ist schon bewusst, dass eine endliche Anzahl Faktoren im Vergleich zu einer unendlich grossen Anzahl fast nichts ist, aber eben nur fast, es halt doch etwas. Und wenn ein Faktor, der gegen 1 geht, endlich mal mit sich selbst multipliziert wird, geht das Gesamtresultat doch nicht mehr gegen 1, sondern strebt davon weg. Auch wenn die Differenz natürlich sehr sehr klein ist. Oder sehe ich das völlig falsch?

Naja, egal, will dich nicht nerven.

06.10.2005, 12:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Andromache007
Und wenn ein Faktor, der gegen 1 geht, endlich mal mit sich selbst multipliziert wird, geht das Gesamtresultat doch nicht mehr gegen 1, sondern strebt davon weg. Auch wenn die Differenz natürlich sehr sehr klein ist. Oder sehe ich das völlig falsch?

Na eben doch, das habe ich doch gestern zu erklären versucht. Es geht eben doch gegen 1!!!!!!!!!!!
Ich könnte dir das schon beweisen. Das beruht auf folgender Tatsache:

Konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und die Folge $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert auch die Produktfolge $\begin{eqnarray*} c_k=a_k\cdot b_k \end{eqnarray*}$ , und zwar gegen $\begin{eqnarray*} c=a\cdot b \end{eqnarray*}$ .

Falls du den Beweis haben willst, den könnte ich schnell hier reinschreiben. Und daraus folgt dann (durch Induktion), dass das Produkt von endlich vielen konvergenten Zahlenfolgen ebenfalls konvergiert, und zwar gegen das Produkt der Grenzwerte. Und daraus folgt dann auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^{987654321}\right)=1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

07.10.2005, 01:08

Andromache007

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Zitat:

Konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und die Folge $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert auch die Produktfolge $\begin{eqnarray*} c_k=a_k\cdot b_k \end{eqnarray*}$ , und zwar gegen $\begin{eqnarray*} c=a\cdot b \end{eqnarray*}$ .

ich nehme an, hier könnte man "folge" auch durch "wert" ersetzen, oder?

Zitat:

Und daraus folgt dann (durch Induktion), dass das Produkt von endlich vielen konvergenten Zahlenfolgen ebenfalls konvergiert, und zwar gegen das Produkt der Grenzwerte.

was ist induktion?

und warum trifft das nur auf das produkt von endlich vielen konvergenten zahlenfolgen und nicht auch auf dasjenige von unendlich vielen zu? ja, ok ok, ich ziehe die letztere frage zurück. ich weiss es ja jetzt theoretisch. es ist nur eine frage meiner vorstellungskraft und die spielt hier nicht vollständig mit. unendlichkeit lässt sich schlecht erfassen... verwirrt

andere frage: das produkt von unendlich vielen konvergenten zahlenfolgen konvergiert nicht in allen fällen, oder? das produkt von endlich vielen konvergenten zahlenfolgen aber schon?

ähmm ja, den beweis hätte ich schon noch gerne.

07.10.2005, 01:35

Mathespezialschüler

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Nein, mit "Wert" hat das nicht zu tun. Mit "Folge" meine ich "Zahlenfolge". Du weißt doch, was das ist oder?
Und das mit dem Unendlichen: Besser können wir es dir mMn nicht erklären. Deswegen denke ich einfach, dass du etwas Zeit abwarten solltest. Dann kommt das Gefühl für das Unendliche schon ganz von selbst.
Mit Induktion meine ich die vollständige Induktion.
Zum geforderten Beweis. Wenn du ihn nicht verstehst, dann solltest du es jetzt auch nicht krampfhaft versuchen. Vll kennst du ja nicht einmal die Definitionen, sodass du nicht mal verstehst, woher das ganz am Anfang kommt, was man direkt aus den Voraussetzungen folgert. Du solltest dann einfach bis zum Studium warten. Augenzwinkern

Hier der Beweis:
Wir müssen zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} |c_k-c|=|a_kb_k-ab|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k>k_0 \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ konvergiert, ist $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt. Es gibt also eine Konstante $\begin{eqnarray*} M\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |b_k|\leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}a_k=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}b_k=b \end{eqnarray*}$ . Deshalb gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} k_1,k_2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} k>k_1 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} |a_k-a|<\frac{\varepsilon}{2M} \end{eqnarray*}$ gilt und sodass für alle $\begin{eqnarray*} k>k_2 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} |b_k-b|<\frac{\varepsilon}{2|a|} \end{eqnarray*}$ gilt.
Sei $\begin{eqnarray*} k_0:=\max \{k_1,k_2\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} k>k_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |c_k-c|=|a_kb_k-ab|=|a_kb_k-ab_k+ab_k-ab|\leq |a_kb_k-ab_k|+|ab_k-ab| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|b_k|\cdot |a_k-a|+|a|\cdot |b_k-b|< M\cdot \frac{\varepsilon}{2M}+|a|\cdot \frac{\varepsilon}{2|a|}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

07.10.2005, 01:54

Andromache007

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Zitat:

Nein, mit "Wert" hat das nicht zu tun. Mit "Folge" meine ich "Zahlenfolge". Du weißt doch, was das ist oder?

*gg* ja, das weiss ich. ich hab nur gefragt, weil dieser ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{987654321} \end{eqnarray*}$

ja kein produkt von endlich vielen konvergenten Zahlenfolgen ist, sondern das produkt von endlich vielen konvergenten werten. mit konvergentem wert meine ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \end{eqnarray*}$

oder sehe ich das mal wieder völlig falsch?

was den beweis angeht, hast du recht. ich verstehe ihn nicht, weil ich die notation zum teil nicht kenne. ich werde wohl wirklich bis zum studium warten (ist ja nicht mehr lange) und dann die dozenten mit meinen nervigen "ich komm nicht draus"-fragen belästigen... Augenzwinkern

was willst du dann später eigentlich mal studieren? mathe? das wird ja ganz schön langweilig für dich (zumindest am anfang). du weisst ja schon so vieles. seit wann befasst du dich denn so intensiv mit mathe?

07.10.2005, 02:01

Mathespezialschüler

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Ein Wert konvergiert nicht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right) \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_k=1+\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Ja, ich will Mathe studieren. Durch meine spezielle Schule ist es mir sogar möglich, das erste Semester auszulassen. Da ich das mit gutem Gewissen tun kann, werd ich also im zweiten Semester einsteigen. Und da bin ich aber noch lange nicht so bewandert wie im ersten Semester, weswegen ich mich dort sicher nicht langweilen werde.
Naja gut, ich werd dann jetzt mal schlafen gehen. Also, gute Nacht. Schläfer

Gruß MSS

07.10.2005, 23:07

Andromache007

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hab grad gemerkt, dass ich folge mit reihe verwechselt habe. tja, was man so alles in einem knappen mathelosen jahr vergisst....

naja, auf jeden fall danke für all deine erklärungen. ich denke, hiermit lasse ich diesen thread in der versenkung verschwinden.

werde mich aber sicher mal wieder mit anderen fragen zu wort melden. mal schauen, wie lange es dann dauert, bis ichs begriffen habe.... Augenzwinkern

18.09.2012, 22:53

Gostritter

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RE: Logarithmische Integration, Herleitung
Ganz einfach:
deine erste Frage:
zu zeigen ist, das die ableitung der stammfunktion = die funktion sleber ist
die stammfunktion selber ist
f(x)=ln(x)
also ist zu zeigen, dass (ln(x))'=1/x ist.

Also:
$\begin{eqnarray*} y=ln(x) \end{eqnarray*}$
umkehrfunktion ist
$\begin{eqnarray*} e^y=x \end{eqnarray*}$

dann kommt ein Trick:
$\begin{eqnarray*} dy/dy=1/dx/dy \end{eqnarray*}$ (Bruchgesetz mit Kehrwert usw.)
( $\begin{eqnarray*} dx/dy=e^y \end{eqnarray*}$ )
daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} 1/(e^y)=dy/dx \end{eqnarray*}$
so wir wollen aber nicht die variable y drinhaben sonder das x (am anfang hatten wir $\begin{eqnarray*} y=ln(x) \end{eqnarray*}$
Also steht da
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{ln(x)} } \end{eqnarray*}$ (ln und e heben sich auf)
Also steht da
$\begin{eqnarray*} dy/dx=1/x \end{eqnarray*}$ q.e.d

so deine 2. frage:

das integral
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{f' (x)}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$
ich hoffe das ist selbstrerklärend:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{f' (x)}{f(x)} \, dx = \int_a^b \! \frac{1}{f(x)} \frac{dy}{dx} \, = \int_a^b \! \frac{1}{f(x)} \, dy = ln(f(x)) \end{eqnarray*}$

18.09.2012, 22:55

Gostritter

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RE: Logarithmische Integration, Herleitung
Hoppla da steht natürlich am ende:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{f' (x)}{f(x)} \, dx = \int_a^b \! \frac{1}{f(x)} \frac{dy}{dx} *dx\, = \int_a^b \! \frac{1}{f(x)} \, dy = ln(f(x)) \end{eqnarray*}$

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