Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen

09.04.2008, 10:56

JonnyRico

Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen

Hi,

ich habe ein Problem mit dieser Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1 }^n~(-1)^{n}*\frac{2^{n}}{e^n} \end{eqnarray*}$

Ich soll nachweisen das die unendliche Reihe konvergiert und den Summenwert berechnen.

Also eigentlich dachte ich, das ich das ganze mit dem Leibnitzkriterium nachweise und zwar sage ich $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}}{e^n} \end{eqnarray*}$ bildet eine monoton abnehmende Nullfolge und somit ist die Reihe konvergent.
Das erscheint mir eigentlich erst mal richtig. Was meint ihr dazu?

So jetzt weiß ich dann aber nicht wie ich den Summenwert berechne. Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank im Voraus.

Gruß

Jonny

09.04.2008, 10:58

klarsoweit

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
Leibnizkriterium geht natürlich. Ich würde aber mal an die geometrische Reihe denken. Augenzwinkern

09.04.2008, 11:04

JonnyRico

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Du meinst wahrscheinlich für die Summenwertermittlung oder? Sonst müsste ich ja das Majorantenkriterium anwenden und ich denke das ist aufwendiger.

Die geometrische Reihe ist mir schon in den Sinn gekommen. Da muss ich dann ja $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ bilden, aber irgendwie führte mich das nicht so richtig zum Ziel traurig

Also q muss ich doch $\begin{eqnarray*} (-1)^{n}*\frac{2^{n}}{e^n} \end{eqnarray*}$ annehmen oder??

09.04.2008, 11:09

klarsoweit

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
Heidinei. unglücklich

Jetzt vergleiche mal $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1 }^n~q^{i} \end{eqnarray*}$ mit deiner Summe. Was ist dann q?

Im übrigen fällt mir gerade auf, daß du deinen Summationsindex in dem Summationsterm der Summe gar nicht verwendest. smile

09.04.2008, 11:21

JonnyRico

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
sorry aber da stehe ich wohl ein bissel auf dem Schlauch. Was ist es denn wenn nicht der komplette Term verwirrt

P.s. Jo klar das sollte ein i sein Big Laugh

09.04.2008, 11:29

klarsoweit

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
Wenn du in $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1 }^n~q^{i} \end{eqnarray*}$ für q den Term $\begin{eqnarray*} (-1)^{n}*\frac{2^{n}}{e^n} \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1 }^n~\left( (-1)^{n}*\frac{2^{n}}{e^n} \right)^{i} \end{eqnarray*}$

Also das ist es wohl nicht.

09.04.2008, 13:56

JonnyRico

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
sorry aber dann weiß ich nicht wie's geht unglücklich

09.04.2008, 14:11

klarsoweit

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Heidinei.

Nimm $\begin{eqnarray*} q = \frac{-2}{e} \end{eqnarray*}$ , dann paßt es.

09.04.2008, 14:12

JonnyRico

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
DANKEEE!!! Augenzwinkern

09.04.2008, 14:22

JonnyRico

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
ähhhmmm....sorry wenn ich da noch mal einhaken muss, aber wenn ich dann da habe

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1-\frac{-2}{e}} \end{eqnarray*}$

dann ist ja n erstmal egal. Es ergibt sich dann nach umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{2}{e}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{e+2}{e}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e}{e+2} = 0,57611.... \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber die Summe mal mit Derive bis z.B. n=5000 laufen lasse bekomme ich -0.4238831152

Kannst du mir vielleicht ein letztes mal helfen?? Ich sagen schon mal vielen Dank für deine Mühe.

Gruß

Jonny

09.04.2008, 14:39

klarsoweit

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen

Zitat:

Original von JonnyRico
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1-\frac{-2}{e}} \end{eqnarray*}$

Was ist denn das für ein Unfug? verwirrt

Wenn, dann hast du sowas:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1 }^n~q^{i} \end{eqnarray*}$

Und jetzt sage erstmal, was denn $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1 }^n~q^{i} \end{eqnarray*}$ ist.

09.04.2008, 14:44

JonnyRico

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
Na das ist doch das was du mir eben geschildert hast:

Wenn q = $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{e} \end{eqnarray*}$ ist dann muss $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1 }^n~q^{i} \end{eqnarray*}$ ja nun = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1 }^n~(\frac{-2}{e})^{i} \end{eqnarray*}$ sein.

09.04.2008, 14:48

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
Das ist richtig. Und da das eine geometrische Reihe ist, kann man die Summe in einen Term umformen. Und diesen solltest du angeben.

07.02.2010, 21:59

Gott123

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RE: Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen
du hast einfach a1 vergessen zu muliplizieren: a1*(1/1-q) dann stimmt das ergebnis auch mit derive

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Konvergenz nachweisen und Summenwert berechnen

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