Brauche Hilfe zu Klausuraufgaben

01.10.2005, 12:10

wochse

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Brauche Hilfe zu Klausuraufgaben

Hallo
Ich bin Schüler der 13.Klasse im Mathe-GK. Nächstes Klausurthema ist Stochastik und ich komme bei einigen Vorbereitungsaufgaben zur Klausur nicht weiter. Ich hoffe man kann mir hier helfen.

Aufgabe lautet wie folgt:
Sie haben eine Anzahl Reclamheftchen vor sich liegen: 10 x Goethe, 8 x Schiller, 4 x Heine und 3 x Lessing.
a) Auf wie viele Arten können sie diese Heftchen in ein Regal stellen?
b)Wie groß ist die Wahnscheinlichkeit dafür, dass zufällig die drei Werke von Lessing zusammenstehen?

Ich weiß nicht wie ich da herangehen soll.

01.10.2005, 12:23

Cyrania

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Die Aufgabe ist nicht ganz eindeutig. Sollen es zB. unterscheidbare Goethe-Heftchen sein oder 10 gleiche Hefte?

01.10.2005, 19:00

wochse

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Hmmm
Das sollen wohl gleiche Goethe-Heftchen sein.

01.10.2005, 19:16

sqrt(2)

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Wie viele Möglichkeiten gibt es, 25 unterscheidbare Heftchen ins Regal zu stellen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 10 Goethe-Heftchen im Regal untereinander anzuordnen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 8 Schiller-Heftchen im Regal untereinander anzuordnen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 4 Heine-Heftchen im Regal untereinander anzuordnen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 3 Lessing-Heftchen im Regal untereinander anzuordnen?

01.10.2005, 19:20

Sciencefreak

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zu a) rechne doch erst mal so aus, als wären alle verschieden. Und dann musst du nur durch die Zahl dividieren, die der Anzahl deiner Dopplungen entspricht. Und das ist gerade 10!*8!*4!*3! und du hast dein Ergebnis. Also hier mal an einem anderem beispiel:
Du hast 20 Ziffern,
5 mal die 1
3 mal die 2
1 mal die 3
9 mal die 4
2 mal die 5
Wi viele verschiedene 20-stellige Zahlen kann man daraus bilden

Die Anzahl wäre dann $\begin{eqnarray*} 20!/(5!*3!*1*9!*2!) \end{eqnarray*}$

02.10.2005, 13:30

wochse

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Lösungsvorschlag
zu a) Das würde ich so $\begin{eqnarray*} 25!/(10!*8!*4!*3!) \end{eqnarray*}$ rechnen. Es kommt $\begin{eqnarray*} 7.36206471e+11 \end{eqnarray*}$ heraus. Das Ergebnis verwundert mich ein bisschen. Ich hoffe es stimmt so.

Bei Aufgabe b) würde ich entweder $\begin{eqnarray*} 3/(\frac{25}{3}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{3})/(\frac{25}{3}) \end{eqnarray*}$ rechnen. Ich weiß es jedoch nicht sicher.

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02.10.2005, 13:44

Cyrania

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Das zeigt dein Rechner und was heißt das nun?

02.10.2005, 13:49

wochse

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Hä?
Ich wollte nur wissen ob meine Rechnung zu Aufgabe a) richtig ist und ob mein Denkansatz zu Aufgabe b) in die richtige Richtung geht.

02.10.2005, 14:11

wochse

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Habe mich wohl geirrt..
Bei Aufgabe b) habe ich noch anders gerechnet.
Ich denke das ist die richtige Lösung:
$\begin{eqnarray*} (3/25*2/24*1/23)*100= 0.043 \end{eqnarray*}$ % Wahnscheinlichkeit

04.10.2005, 16:33

wochse

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Anderes Problem
Ich habe eine andere Aufgabe, bei der mir ein winziger Teil fehlt, um sie zu meistern. Aufgabe lautet wie folgt:
Eine Urne enthält 5 gelbe, 3 blaue und 4 rote Kugeln. Es wird der Urne eine ungeordnete Stichprobe vom Umfang 5 ohne Zurücklegen entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse! Die Stichprobe enthält
a) 2 rote Kugeln b) 2 blaue und 3 gelbe Kugeln

Mein Lösungsansatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{(_{2}^4)}{(_{2}^12)} \end{eqnarray*}$ (unter dem Bruchstrich soll das 12 sein)
Ich weiß, dass es die falsche Lösung ist, deshalb brauche ich ein Tip, wie es richtig heißt.

04.10.2005, 17:04

sqrt(2)

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RE: Habe mich wohl geirrt..

Zitat:

Original von wochse
zu a) Das würde ich so $\begin{eqnarray*} 25!/(10!*8!*4!*3!) \end{eqnarray*}$ rechnen. Es kommt $\begin{eqnarray*} 7.36206471e+11 \end{eqnarray*}$ heraus. Das Ergebnis verwundert mich ein bisschen. Ich hoffe es stimmt so.

Der Rechenweg ja, das Ergebnis nein...

Zitat:

Original von wochse
Ich denke das ist die richtige Lösung:
$\begin{eqnarray*} (3/25*2/24*1/23)*100= 0.043 \end{eqnarray*}$ % Wahnscheinlichkeit

Erstens gehört entweder das mal 100 oder das Prozentzeichen weg, zweitens ist der Ansatz falsch (ich weiß auch nicht, wie du auf den gekommen bist). Überleg doch mal, wie viele Möglichkeiten es gibt, in denen die drei Lessing-Hefte nebeneinander stehen. Die Anzahl der Gesamtmöglichkeiten kennst du ja noch aus a).

Zu deiner neuen Aufgabe. Überleg noch einmal, wie viele Möglichkeiten es gibt, überhaupt 5 Kugeln aus 12 ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen. Was die Anzahl der günstigen Möglichkeiten angeht bist du schon nahe dran: mit $\begin{eqnarray*} 4\choose2 \end{eqnarray*}$ hast du die Anzahl der Möglichkeiten, 2 Kugeln aus 4 roten zu ziehen. Diese Anzahl muss aber noch mit der Anzahl der Möglichkeiten multipliziert werden, die es für die drei anderen Kugeln gibt, wenn 2 rote in der Ziehung dabei sind.

04.10.2005, 17:51

wochse

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Zitat:

Der Rechenweg ja, das Ergebnis nein...

Das scheitert wohl daran, dass ich gar nicht weiß, wie es in den Taschenrechner eingegen werden muss. Ich habe es so eingeben wie es da steht. Wie wird es denn richtig eingetippt?

Bei den Lessing-Heftchen, würde ich so rechnen:
$\begin{eqnarray*} \frac {25!} {(25-3)!} = 13800 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

Wie komme ich da noch an die Wahrscheinlichkeit?

Bei der neuen Aufgabe finde ich immernoch nicht eine Lösung. Ich tippe mal, das die Lösung so lautet:
(4 2)*(10 3)
Ich weiß leider nicht, wie ich es Latex, in der Klammer übereinander schreiben kann.

04.10.2005, 18:01

azur

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kann man das nicht so machen: Die Goethe-Hefte sollen doch alle identisch sein??

Wieviele Möglichkeiten gibt es zehn Kugeln aus 25 Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen?
Das wären meiner Meinung nach

25 über 10

und so macht man das auch mit den anderen Heften...

04.10.2005, 18:05

sqrt(2)

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Zitat:

Original von wochse

Zitat:

Der Rechenweg ja, das Ergebnis nein...

Das scheitert wohl daran, dass ich gar nicht weiß, wie es in den Taschenrechner eingegen werden muss. Ich habe es so eingeben wie es da steht. Wie wird es denn richtig eingetippt?

Du hast es richtig gemacht, ich aber falsch... Ich habe ein Fakultätszeichen vergessen. Hammer

Hammer

Zitat:

Original von wochse
Bei den Lessing-Heftchen, würde ich so rechnen:
$\begin{eqnarray*} \frac {25!} {(25-3)!} = 13800 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

Nein, es sind um einige mehr. Wie bist du denn auf die Idee gekommen?

Zitat:

Original von wochse
Wie komme ich da noch an die Wahrscheinlichkeit?

Immer Anzahl der günstigen Möglichkeiten (der Möglichkeiten, bei denen drei Lessing-Bücher nebeneinander stehen) durch Anzahl aller Möglichkeiten (die hast du schon).

Es gibt acht mögliche Positionen für die Lessing-Hefte:

LLL......................
.LLL.....................
..LLL....................
und so weiter bis
......................LLL

Für jede dieser 23 Möglichkeiten gibt es jetzt genau so viele Möglichkeiten, wie man die restlichen 22 Hefte auf die restlichen 22 Positionen verteilen kann (die Ununterscheidbarkeit von Heften gleichen Autors untereinander muss natürlich beachtet werden). Wie viele also? Wie viele günstige Möglichkeiten also insgesamt? Was ist dann die Wahrscheinlichkeit?

Die andere Aufgabe stelle ich mal zurück, die hat mit dieser hier nämlich relativ viel zu tun.

04.10.2005, 18:21

wochse

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puhh
Keine Ahnung. Ich sitze schon ne halbe Stunde vorm Rechner und raffe gar nichts mehr. Ich glaube, ich versuche es lieber morgen nochmal. Mein Geist muss sich mal erholen. Ich glaube aber, dass du

Zitat:

(die Ununterscheidbarkeit von Heften gleichen Autors untereinander muss natürlich beachtet werden)

dabei falsch liegst. Das spielt doch keine Rolle, oder?

04.10.2005, 18:26

sqrt(2)

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Du hast die Anzahl aller Möglichkeiten ausgerechnet, wobei du darauf geachtet hast, dass die Goethe-, Schiller-, Heine- und Lessing-Hefte sich untereinander nicht unterscheiden. Das musst du jetzt auch bei der Berechnung der günstigen Möglichkeiten beachten.

04.10.2005, 20:30

wochse

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Lösungsvorschlag
Bei der Aufgabe mit den Urnen, würde ich
(4 über 2)*(12 über 3) = 1320 Möglichkeiten
vorschlagen.

Die Aufgabe mit den Lessing-Heftchen, würde ich so lösen:
$\begin{eqnarray*} \frac{8!*23}{22!*22!}=927360 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

04.10.2005, 20:37

sqrt(2)

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RE: Lösungsvorschlag

Zitat:

Original von wochse
Bei der Aufgabe mit den Urnen, würde ich
(4 über 2)*(12 über 3) = 1320 Möglichkeiten
vorschlagen.

Das ist falsch. Wie gesagt, löse lieber erst die andere Aufgabe, dann kommen wir zu der. Auch, wenn es nicht so aussieht, die Aufgaben sind ähnlich.

Zitat:

Original von wochse
Die Aufgabe mit den Lessing-Heftchen, würde ich so lösen:
$\begin{eqnarray*} \frac{8!*23}{22!*22!}=927360 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

Das heißt, dass pro Position der Lessing-Hefte die anderen 22 Hefte in $\begin{eqnarray*} \frac{8!}{2\cdot22!} \end{eqnarray*}$ unterschiedlichen Anordnungen stehen können? Wie kommst du denn jetzt darauf?

Wir halten fest: Es gibt 23 Möglichkeiten, drei Lessing-Hefte nebeneinander stehen zu haben. Egal, wo sie stehen, wir nehmen sie jetzt aus dem Regal. Es bleiben 22 Hefte übrig, 10 Goethe, 8 Schiller, 4 Heine. Wie viele mögliche Anordnungen gibt es? (Die Aufgabe müsste dir extrem bekannt vorkommen.)

04.10.2005, 20:47

wochse

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tja
Ich merke schon, dass das alles, viel zu hoch für mich ist. Trotzdem versuche ich einfach, noch einen Ansatz aus dem Handgelenk zu schütteln. Mehr kann ich wohl nicht aus mir rausholen.
$\begin{eqnarray*} \frac{23*3!}{(\frac{22!}{10!*4!*8!})} \end{eqnarray*}$

04.10.2005, 20:54

sqrt(2)

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Dein letzter Ansatz beinhaltet schon viel richtiges.

Also: 23 Möglichkeiten, 3 Lessing-Hefte nebeneinanderzustellen. Für die restlichen 22 Hefte gibt es dann jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{22!}{10!\cdot8!\cdot4!} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, sich um die Lessing-Hefte herumzustellen. Das macht insgesamt $\begin{eqnarray*} \frac{23\cdot22!}{10!\cdot8!\cdot4!} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, in denen in einem Regal mit 25 Heften die 3 Lessing-Hefte nebeneinander stehen.

Die Anzahl aller Möglichkeiten, die 25 Hefte ins Regal zu stellen, kennst du schon. Also: Anzahl günstiger Fälle durch Anzahl aller möglichen Fälle, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit?

04.10.2005, 21:03

wochse

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$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{23*22!}{10!*8!*4!}}{\frac{25!}{10!*8!*4!*3!}}? \end{eqnarray*}$

04.10.2005, 21:05

sqrt(2)

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Ja genau, und das ist?

04.10.2005, 21:08

wochse

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Wahnscheinlichkeit von 0.0278%?

04.10.2005, 21:12

sqrt(2)

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Nein.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{23*22!}{10!*8!*4!}}{\frac{25!}{10!*8!*4!*3!}}=\frac{23\cdot22!\cdot3!}{25!}=0.01=1% \end{eqnarray*}$ .

So, jetzt zur zweiten Aufgabe. Wir berechnen wieder

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl aller Fälle}} \end{eqnarray*}$ .

Wie groß ist denn die Anzahl aller Möglichkeiten, wenn man aus 12 Kugeln 5 zieht?

04.10.2005, 21:17

wochse

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12 über 5 = 792

04.10.2005, 21:28

sqrt(2)

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Ja, genau. Jetzt fragt sich eben, wie viele günstige Fälle es gibt, also wie viele Fälle, in denen genau zwei Kugeln rot sind.

Dazu betrachte das Ereignis wie vorhin mit den Lessing-Büchern zweigeteilt: Zunächst, wie viele Möglichkeiten gibt es, überhaupt 2 rote Kugeln aus 4 zu ziehen? Und dann: Wie viele Möglichkeiten gibt es für die restlichen Kugeln, wenn 2 rot sind?

05.10.2005, 12:33

wochse

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1.Versuch
(4 über 2)*(5 über 2) / (13 über 8)

Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir vllt noch kurz erklären könntest, wie du auf die Werte, bei der Aufgabe mit den 3 Lessing-Heftchen, kommst.
z.B. verstehe ich nicht ganz, wie die Werte nach dem 1. großen Bruchstich zusammen kommen. Also: Wie 23*22!*3!/25! zustande kommt?

05.10.2005, 12:47

sqrt(2)

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RE: 1.Versuch

Zitat:

Original von wochse
(4 über 2)*(5 über 2) / (13 über 8)

Nein. Du musst übrigens immer dazuschreiben, was du dir bei einem Versuch denkst. Nur raten bringt da nicht viel. Ich frage mich vor allem, wie du auf die $\begin{eqnarray*} 13\choose8 \end{eqnarray*}$ unter dem Bruchstrich kommst. Wir hatten doch gestern schon festgestellt, dass die Anzahl aller Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} 12\choose5 \end{eqnarray*}$ ist!

Also, was genau hast du dir bei deinem Versuch gedacht?

Zitat:

Original von wochse
z.B. verstehe ich nicht ganz, wie die Werte nach dem 1. großen Bruchstich zusammen kommen. Also: Wie 23*22!*3!/25! zustande kommt?

Ich habe einfach nur gekürzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{23\cdot22!}{10!\cdot8!\cdot4!}}{\frac{25!}{10!\cdot8!\cdot4!\cdot3!}}=\frac{23\cdot22!}{10!\cdot8!\cdot4!}\cdot\frac{10!\cdot8!\cdot4!\cdot3!}{25!}=\frac{23\cdot22!\cdot3!}{25!} \end{eqnarray*}$

05.10.2005, 13:03

wochse

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upps
Da habe ich mich vertippt, sorry. Ich meinte eigentlich auch 12 über 5.
Bei 4 über 2 habe ich mich gedacht, dass aus 4 roten genau 2 gezogen werden müssen. Bei 5 über 2 habe ich mich wieder vertippt(ich bin noch nicht ganz ausgeschlafen). Ich wollte 10 über 3 rechnen, da noch 10 übrig geblieben sind und 3 noch gezogen werden müssen.
Ich bin mir aber immernoch, noch nicht ganz sicher bei meinen Überlegungen.

05.10.2005, 13:25

sqrt(2)

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Das ist fast richtig, du vergisst nur, dass unter den übrigen drei keine weitere rote sein darf!

Also, es gibt $\begin{eqnarray*} 12\choose5 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten insgesamt, 5 Kugeln zu ziehen. es gibt $\begin{eqnarray*} 4\choose2 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, zwei rote aus den vier roten zu ziehen. Zu jeder dieser $\begin{eqnarray*} 4\choose2 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten gibt es also wie viele Möglichkeiten, die restlichen drei Kugeln zu ziehen?

Wie viele günstige Möglichkeiten sind das also? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?

05.10.2005, 14:36

wochse

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Dann so..
$\begin{eqnarray*} \frac{{4 \choose 2}*{9 \choose 2}}{{12 \choose 5}} =0.27 =27 \end{eqnarray*}$

Bei Aufgabe b) steht, dass die Stichprobe 2 blaue und 3 gelbe Kugeln enthält.

Meine Lösung wäre dann
$\begin{eqnarray*} \frac{{3 \choose 2}*{5 \choose 3}}{{12 \choose 5}}= 0.03 = 3 \end{eqnarray*}$
Ich glaube jedoch, dass ich über dem Bruchstrich noch etwas vergessen habe.

P.S. Kannst du mir den Latex-Code schicken, damit ich das ... über ... besser ausehen lassen kann?

05.10.2005, 18:35

sqrt(2)

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RE: Dann so..

Zitat:

Original von wochse
(4 über 2)*(9 über 2) / (12 über 5) =0.27 =27

Fast. Wenn die beiden roten Kugeln gezogen sind, dann bleiben noch 8 Kugeln über, aus denen die letzten 3 zu ziehen sind. Also:

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{{4 \choose 2} \cdot {8 \choose 3}}{{12 \choose 5}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von wochse
Bei Aufgabe b) steht, dass die Stichprobe 2 blaue und 3 gelbe Kugeln enthält.

Meine Lösung wäre dann
(3 über 2)*(5 über 3)/(12 über 5)= 0.03 = 3
Ich glaube jedoch, dass ich über dem Bruchstrich noch etwas vergessen habe.

Nein, hast du nicht. Du hast nur falsch gerundet.

Zitat:

Original von wochse
P.S. Kannst du mir den Latex-Code schicken, damit ich das ... über ... besser ausehen lassen kann?

{n \choose k}

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