Picard-Lindelöf-Iteration

01.10.2005, 15:04

Gubert

Picard-Lindelöf-Iteration

Hi,

ich soll folgende Anfangswertaufgabe mit Picard-Lindelöf-Iteration lösen:

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = t - x \qquad x(0) = 1 \end{eqnarray*}$

d.h. mit der Iterationsgleichung

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} =1 + \int \limits_0^t \tau - x_n(\tau) \mathrm{d} \tau \end{eqnarray*}$

Als Startelement wähle ich

$\begin{eqnarray*} x_0(t) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich für die interierten Elemente

$\begin{eqnarray*} x_1(t) = 1 + \int \limits_0^t \tau \mathrm{d} \tau = 1+\frac{t^2}{2} \end{eqnarray*}$

usw. Ich hab das mal bis zum 6. Glied gemacht, dort erhalte ich

$\begin{eqnarray*} x_6(t) = 1 -t +t^2- \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{24} - \frac{t^5}{5!} + \frac{t^6}{6!} - \frac{t^7}{7!} \end{eqnarray*}$

Allerdings sehe ich nicht, dass die so erhaltene Lösung gegen die angegebene Lösung $\begin{eqnarray*} x(t) = (t-1) + c e^{-t} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Hab jetzt auch schon mehrmals nachgerechnet. Sieht jemand, wo der Fehler liegt?

01.10.2005, 15:25

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Zum einen folgt aus der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} x(0)=1 \end{eqnarray*}$ die Konstante $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ .

Zum anderen hast du dich bei $\begin{eqnarray*} x_6(t) \end{eqnarray*}$ schlicht verrechnet - tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} x_6(t) = 1 -t +t^2- \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{12} - \frac{t^5}{60} + \frac{t^6}{6!} - \frac{t^7}{7!} = t-1+2\left( 1 -t +\frac{t^2}{2!} - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^5}{5!} \right) + \frac{t^6}{6!} - \frac{t^7}{7!} \end{eqnarray*}$

01.10.2005, 16:48

Gubert

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verrechnet, ja - dreimal hintereinander geschockt

. danke sehr.

Gibt es noch eine einfache Möglichkeit zu sehen, dass die hinteren Terme z.B. für t > 1 bei der Konvergenz keine Probleme machen?

$\begin{eqnarray*} \frac{t^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{t^n}{n!} \end{eqnarray*}$ divergiert dann ja, oder?

02.10.2005, 15:54

JochenX

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Zitat:

Original von Gubert
$\begin{eqnarray*} \frac{t^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{t^n}{n!} \end{eqnarray*}$ divergiert dann ja, oder?

beide einzelteme konvegieren für n gegen unendlich gegen 0
also konvergiert auch das ganze gegen 0

02.10.2005, 19:58

Gubert

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Wohl wahr! Danke sehr!

02.10.2005, 20:14

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Durch Induktion lässt sich übrigens leicht nachweisen:

$\begin{eqnarray*} x_n(t) = t-1 + (-1)^n \left[ \frac{t^n}{n!}-\frac{t^{n+1}}{(n+1)!} \right] + c\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\frac{t^k}{k!} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} c=x(0)+1 \end{eqnarray*}$

Die Konvergenz

$\begin{eqnarray*} x_n(t) \;\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\; t-1 + c\cdot e^{-t} \end{eqnarray*}$

ist dann offensichtlich

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