gerade und 2 punkte->ebenenform

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01.10.2005, 16:55	hansikraus	Auf diesen Beitrag antworten »
gerade und 2 punkte->ebenenform moin. wir haben eine HA bekommen und ich wollte nun nur ma wissen ob meine ergebnisse hinhauen. in einem kartesischen koordiantensystem sind die punkte A(7/3/1) und A´(1/-3/1) gegeben sowie die gerade $\begin{eqnarray} g:\vec{x} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so nun heißt es weiterhin. A und A´ liegen spiegeldbildlich bezüglich einer Ebene E. ermitteln sie eine gleichung der ebene E in koordinatenform. so ich habe mir dann die punkte (2/2/0) (1/-3/1) und (7/3/1) und versucht daraus ne gleichung zu bauen. erstma geprüft ob alle auf einer gerade liegen. nein. so und dann die gleichung $\begin{eqnarray} \vec{x} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalten. die koordiantenform wäre ja dann -6y+6z=-12. nun die frage: stimmt das? mfg
01.10.2005, 17:14	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gerade und 2 punkte->ebenenform irgendwie verstehe ich die Angabe nicht. Welchen Einfluss hat die Gerade auf die Ebene?
01.10.2005, 17:18	hansikraus	Auf diesen Beitrag antworten »
also die gerade liegt in der ebene drinne. und somit hab ich ja nochn dritten punkt. praktisch A und A´ und noch den punkt der geraden auf der ebene (bzw einen von vielen) um die ebenengleichung aufzustellen
01.10.2005, 17:47	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gerade und 2 punkte->ebenenform die gerade wirst du vermutlich für einen anderen teil deiner hü brauchen, hier sicher nicht, wie du auf deine spannvektoren kommst, verstehe ich auch nicht. und die ermittelte ebene ist nicht die, die du suchst, davon kannst du dich leicht überzeugen, indem du die jeweiligen abstände von A und A´zu ihr berechnest. oft hilft eine skizze, ich denke auch hier werner
01.10.2005, 17:57	KimmeY	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde vorschlagen, die ebene erstmal in der normalenform auszustellen (dass ist laut der aufgabenstellung am leichtesten) und dann in Koordinatenform umzuwandeln (auch nicht schwer) deswegen mal überlegen was der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{AA'} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \vec{AA'} \end{eqnarray}$ damit zu tun hat, und wie du auf deinen Stützvektor kommst den du für die Normalenform brauchst^^ EDIT: ich stimme zu dass du die Gerade hierfür nicht brauchst, würde mich nämlich wundern wenn die Gerade genau in der gesuchten Ebene liegt. (Geht auch aus der Aufgabnstellung so wie du sie geschrieben hast nicht hervor....)
01.10.2005, 18:06	hansikraus	Auf diesen Beitrag antworten »
na ich hab aus den 3 punkten die gleichung gebaut. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ is zum beispiel der vektor von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . wobei ich mich hier verrechnet habe merk ich grad. die ebenengleichung müsste meiner meinung nach $\begin{eqnarray} \vec{x} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißen naja in aufgabe 2 sollen we zeigen das g in E liegt. somit wird es wohl doch drinn liegen zu: KimmeY $\begin{eqnarray} \vec{AA`} \end{eqnarray}$ is dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und 1/2 davon is $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ was übrigens genau auf den richtungsvektor der gerade zeigen würde oder denk ich jetzt inne völlig andere richtung?
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01.10.2005, 18:24	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
verrechnen: eben! aber die ebene die du gebaut hast, wird von den 3 punkten aufgespannt, das ist NICHT die gesuchte. die, die du finden sollst, ist die lt. skizze mit aufpunkt M und dem offensichtlichen normanlenvektor, und jetzt kannst du zeigen, dass g tatsächlich in E liegt. werner
01.10.2005, 18:26	hansikraus	Auf diesen Beitrag antworten »
in meinem vorletzten beitrag hab ich ma was verändert....
01.10.2005, 18:33	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
die hälfte oder so ist eigentlich ganz wurst/ egal/ schnuppe! es geht nur um die richtung! daher möglichst einfach $\begin{eqnarray} \vec{AA^\prime} =\begin{pmatrix} -6\\ -6 \\ 0\end{pmatrix} \Rightarrow \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und jetzt die ebene durch M(AA´) das muß wohl so sein, wenn g in E liegen soll. werner
01.10.2005, 18:36	hansikraus	Auf diesen Beitrag antworten »
woher kommt denn nun $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$
01.10.2005, 18:49	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
n = 6AA´ du brauchst ja nur einen vektor SENKRECHT auf E, aber natürlich kannst du auch mit dem vektor AA´oder 1/2AA´ rechnen. aber je größer die zahlen, desto eher verrechnet man sich, zumindest ich! beispiel: $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -6\\ -6 \\0 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} 1\\ 1\\0 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ wenn du jetzt beide gl. ausmultiplizierst und die erste ebenengl. durch 6 dividierst, hast du dasselbe. werner n.s. so könnte man ja deine 1. ebenengl. -6y + 6z = -12 verschönern mittels division durch 6.

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