Supremum umformen

09.04.2008, 14:02

apotk1

Supremum umformen

Hallo,

ich sitze da vor einem kleinen Problem, wahrscheinlich genügt eine kleine Formel, die ich nur nicht kenne:

ich soll zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} \sup [\sup (\int f(x,y) dy) - \inf \int f(z,y) dy)] = \\ \frac{1}{2} \sup [\int \mid f(x,y) -f(z,y) \mid dy] \end{eqnarray*}$

Hinbekomme habe ich, dass
$\begin{eqnarray*} \sup (\int f(x,y) dy) - \inf \int f(z,y) dy) = \sup [\int \mid f(x,y) -f(z,y) \mid dy] \end{eqnarray*}$
denke ich zumindest.
Aber weiter weiß ich momentan nicht...

09.04.2008, 17:04

TobeStar81

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RE: Supremum umformen
Hi apotk1,

ich kann leider nur eine Vermutung anstellen, da ich augenblicklich nicht die Zeit habe, deine Aufgabe durchzurechnen. Aber mich macht eins stutzig:

Du betrachtest zunächst nur die Differenz $\begin{eqnarray*} \sup \int~f(x,y)~dy - \inf \int~f(z,y)~dy \end{eqnarray*}$ . Das ist natürlich die völlig richtige Vorgehensweise, aber ich weiß nicht genau, wie du auf den Ergebnis gekommen bist. Ich hab folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int~f(x,y)~dy := g(x); \int~f(z,y)~dy := g(z) \end{eqnarray*}$

mit einer reelwertigen Funktion g, denn die Funktionen unterscheiden sich ja nur in der Variablen x und z, denn über ganz y wird integriert. Dann ist eigentlich auch logisch, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sup g(x) - \inf g(z) = sup |g(x) - g(z)| = sup |\int~f(x,y)~dy - \int~f(z,y)~dy| = \sup |\int~f(x,y) - f(z,y)~dy| \end{eqnarray*}$

Soweit so gut, jetzt stehen aber meine Betragsklammern noch vor dem Integral, wie hast du die denn ins Integral reinbekommen, denn es gilt ja die Dreiecksungleichung für Integrale... Wenn ich das richtig sehe, würde das evtl. Funktionieren, wenn man das Supremum vom Betrag ausnutzen würde, dann müsste das allerdings verschwinden und dann hast du ja schon fast das, was du haben möchtest.

Tut mir Leid, dass ich erst mal nicht weiter helfen kann, aber wenn ich später noch Zeit habe, denke ich noch einmal darüber nach...

P.S.: War für die Funktion f noch etwas genaueres gesagt, oder ist das einfach eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

10.04.2008, 04:10

TobeStar81

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RE: Supremum umformen
Ach so, ich hab mal angenommen, dass das $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ über x und das $\begin{eqnarray*} \inf \end{eqnarray*}$ über z gebildet wird...

10.04.2008, 04:20

WebFritzi

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RE: Supremum umformen

Zitat:

Original von apotk1
$\begin{eqnarray*} \sup [\sup (\int f(x,y) dy) - \inf \int f(z,y) dy)]\dots \end{eqnarray*}$

...macht schon irgendwie keinen Sinn. sup und inf in der Klammer gehen natürlich über x und z (was sonst). Aber über was sollte das äußere sup gehen? verwirrt

10.04.2008, 07:34

Dual Space

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RE: Supremum umformen

Zitat:

Original von apotk1
ich soll zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} \sup [\sup (\int f(x,y) dy) - \inf \int f(z,y) dy)] = \frac{1}{2} \sup [\int \mid f(x,y) -f(z,y) \mid dy] \end{eqnarray*}$

Wie Webfritzi schon sagte ist die linke Seite nicht OK. Hinzukommt nun, dass auf der rechten Seite eine Funktion von x oder z steht. Du solltest unbedingt dazuschreiben, bzgl. welcher Variable das Supremum oder Infimum genommen wird.

Mit anderen Worten: Es wird dir nie gelingen die postulierte Identität zu zeigen, denn sie ist schlichtweg widersprüchlich.

10.04.2008, 12:00

apotk1

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Hallo,

erst einmal vielen Dank für die schnellen Antworten.
Ich hätte es aber wohl ausführlicher aufschreiben sollen:

$\begin{eqnarray*} \sup_B [ \sup_{x \in S}( \int_B f(x,y) dy ) - \inf_{z \in S} (\int_B f(z,y) dy)] = \frac{1}{2} \sup_{x,z} [ \int_S \mid f(x,y)- f(z,y)\mid dy] \end{eqnarray*}$ ,

wobei S ein gewöhnlicher Zustandsraum ist, B eine Teilmenge der zugehörigen Sigma-Algebra. Ich dachte, dass die Umformung damit eher wenig zu tun hat, daher habe ich es weggelassen.
Aber eigentlich klar, dass man wissen muss, worüber die suprema gebildet werden...

10.04.2008, 12:29

apotk1

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Kleiner Schönheitsfehler :
B ist natürlich Element der Sigma-Algebra und nicht Teilmenge

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