[Aufg.] Ableiten

02.10.2005, 13:22

prolimit

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[Aufg.] Ableiten

Hallo, habe folgende Aufgabe zu lösen. Kann ich jetzt x^2-9 kürzen, oder muss ich zum vereinfachen erstmal die Klammern ausmultiplizieren?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2-x^2}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-2x(x^2-9)-2x (2-x^2)}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

Danke schonmal!

02.10.2005, 13:26

grybl

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RE: [Aufg.] Ableiten
du kannst $\begin{eqnarray*} x^2-9 \end{eqnarray*}$ NICHT kürzen! da du im Zähler eine differenz hast und $\begin{eqnarray*} x^2-9 \end{eqnarray*}$ nur beim ersten Teil vorkommt und du daher nicht ausklammern kannst!

Zuerst Zähler vereinfachen, vielleicht geht dann was

02.10.2005, 13:27

Calvin

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RE: [Aufg.] Ableiten
Nein, du darfst nicht kürzen, weil du im Zähler eine Summe hast.

EDIT

Da war ich wohl zu langsam smile

smile

02.10.2005, 13:28

Lazarus

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differenzen und summen kürzen nur die, die die regeln nicht können !

wenn du kürzt musst du jeden summanten durch das zu kürzende teilen !
das dürftest du schon machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

zum vereinfachen: warum klammerst du nicht -2x aus und verrechnest den rest dann in der klammer ?

servus

//edit: und ich war noch langsamenr unglücklich

unglücklich

02.10.2005, 13:56

prolimit

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So weiter gehts:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-2x^3+18x-4x-2x^3}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-4x^3+14x}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

02.10.2005, 14:04

KimmeY

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also bei mir steht da am ende +2x³ so, dass die x³ ganz wegfallen, also steht im zähler dann nur noch 14x (wegen dem minus vor der klammer, da drehen sich ja alle vorzeichen um...... ansonsten siehts richtig aus^^

EDIT: bei solchen gebrochen rationalen funktionen kannst du dir eigentlich immer merken, dass du eigentlich erst bei der 2. ableitung kurzen kannst und musst (da muss dann im nenner immer was mit ³ stehen)..... zumindest haben wirs so gelernt.....

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02.10.2005, 14:07

prolimit

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Zitat:

Original von KimmeY
also bei mir steht da am ende +2x³ so, dass die x³ ganz wegfallen, also steht im zähler dann nur noch 14x (wegen dem minus vor der klammer, da drehen sich ja alle vorzeichen um...... ansonsten siehts richtig aus^^

EDIT: bei solchen gebrochen rationalen funktionen kannst du dir eigentlich immer merken, dass du eigentlich erst bei der 2. ableitung kurzen kannst und musst (da muss dann im nenner immer was mit ³ stehen)..... zumindest haben wirs so gelernt.....

Kann ich jetzt nicht ganz nachvollziehen, wo habe ich einen Fehler gemacht? Beim ausmultiplizeren der Klammern oder Zusammenfassen?

02.10.2005, 14:20

Calvin

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Zitat:

Original von KimmeY
EDIT: bei solchen gebrochen rationalen funktionen kannst du dir eigentlich immer merken, dass du eigentlich erst bei der 2. ableitung kurzen kannst und musst (da muss dann im nenner immer was mit ³ stehen)..... zumindest haben wirs so gelernt.....

Wenn du nicht genauer sagst, was "solche gebrochenrationale Funktionen" sind, ist die Aussage ziemlich schwammig formuliert.

Zitat:

Original von prolimit
Kann ich jetzt nicht ganz nachvollziehen, wo habe ich einen Fehler gemacht? Beim ausmultiplizeren der Klammern oder Zusammenfassen?

Beim Ausmultiplizieren der zweiten Klammer ist ein Vorzeichenfehler drin.

02.10.2005, 14:51

Frooke

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RE: [Aufg.] Ableiten

Zitat:

Original von prolimit
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2-x^2}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-2x(x^2-9)-2x (2-x^2)}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

Man kann mit dem Vereinfachen auch früher beginnen!

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{-\left(x^2-2\right)}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-\left(x^2-9+9-2\right)}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-\left(x^2-9\right)}{x^2-9}-\frac{7}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-1-\frac{7}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Nun leitest Du nur noch das ab! Da brauchst Du dann auch keine Quotientenregel, sondern nur den Reziprokensatz bzw. die Kettenregel!

03.10.2005, 12:22

prolimit

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So ich habe das jetzt fertiggestellt. Ich hoffe es kann sich mir jemand nochmal annehmen und das mal durchschauen. Vielen Dank.

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{2-x^2}{x²-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-2x(x^2-9)-(2-x²)2x}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-2x^3+18x-4x+2x^3}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{14x}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 14x (x^2-9)^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= 14x(-2)(x^2-9)^{-3}(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -56x (x^2-9)^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= -56x (-3) (x^2-9)^{-4}(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= 336x^2(x^2-9)^{-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{336x^2}{(x^2-9)^{4}} \end{eqnarray*}$

03.10.2005, 12:30

Lazarus

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die erste ableitung stimmt noch, aber dann wirds falsch!

ich hab bei der zweiten $\begin{eqnarray*} f''(x)= -42\cdot \frac{(x^2+3)}{(x^2-9)^3} \end{eqnarray*}$ und bei der dritten $\begin{eqnarray*} f'''(x) = 168x \cdot \frac{(x^2+9)}{(x^2-9)^4} \end{eqnarray*}$ raus.

woran liegt das ?

servus

03.10.2005, 12:31

prolimit

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Ich habe bei der 2. und 3. Ableitung nicht die Quotientenregel benutzt, sondern die Produktregel. Geht das nicht?

03.10.2005, 12:32

Lazarus

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wenn du sie richtig angewendet hättest dann ginge das natürlich !

03.10.2005, 12:38

mercany

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noch als kleiner nachtrag:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-2x(x^2-9)-(2x-x²)2x}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$ ist falsch!

Es muss heißen: $\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-2x(x^2-9)-(2-x²)2x}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

War aber anscheinend nur nen Tippfehler, weil hinterher passt es ja wieder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, mercany

03.10.2005, 12:44

prolimit

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Danke, aber ich muss ehrlich sagen, ich weiß nicht was ich bei der 2. Ableitung falsch gemacht habe.

Habe mir dazu nochmal eine Beispiel Aufgabe genommen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 2 (5-x)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2 (-1) (5-x)^{-2} (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2 (5-x)^{-2} \end{eqnarray*}$

So habe ich das versucht.

03.10.2005, 12:50

mercany

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Nagut, aber bleiben wir doch erstmal bei der Aufgabe!
Nicht auf der Hälfte abbrechen und ne andere nehmen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{14x}{(x^2-9)^2} \end{eqnarray*}$

Du hast Quotientenregel mit $\begin{eqnarray*} \left(f'(x)\right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) = 14x, u'(x) = ??? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x) = (x^2-9)^2, v'(x) = ??? \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

\edit1/2: Latex
\edit3: Vorzeichenfehler Hammer

Hammer

\edit4: Kompletten Mist geschrieben und alles verbessert!

03.10.2005, 13:12

prolimit

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Ja die Quotientenregel ist mir geläufig, aber es wäre doch einfacher nicht mit der Quotientenregel weiter zu rechnen, sondern mit der Kettenregel?!

03.10.2005, 13:14

derkoch

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Zitat:

Original von prolimit
Ja die Quotientenregel ist mir geläufig, aber es wäre doch einfacher nicht mit der Quotientenregel weiter zu rechnen, sondern mit der Kettenregel?!

mercany hat dir doch auch die Quotientenregel hingeschrieben! Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.10.2005, 13:14

mercany

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Dann tu das! smile

smile

Ist natürlich auch möglich, musst du nur richtig anstellen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

@koch
er meinte wohl produktregel, statt quotientenregel!

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