Einige Fragen zu Analysis

02.10.2005, 16:13

Clausthaler

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Einige Fragen zu Analysis

1.Kann man $\begin{eqnarray*} i^i \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} a+ib \end{eqnarray*}$ angeben?
Wenn ja wie kann man das ausrechnen?

2. Es geht um Stetigkeit. Bedeutet es das Gleiche wenn man Sagt für alle epsilon größer null und für alle x_0 in M existiestiert ein delta .... usw.

Darf man auch sagen: Für alle x_0 in M und für alle epsilon größer Null existiert ein delta usw......?

3. Wenn eine Funktion stetig ist und man sei auf ein komptaktes intervall packt dann wird sie ja gleichmäßig stetig.
Es gilt also f(x)=x^2 ist gl. stetig auf [3,5] Kann man daraus auch folgern, dass x^2 gl. stetig auf (3,5] ist? (Ich glaubs eigentlich schon bin mir aber nicht ganz sicher)

4.Wie kann man zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ existiert?

5. Aus Lipschitz folgt doch gleichmäßig stetig oder? Gilt auch die Umkehrung?

6.Taylorentwicklung:

Für f:[a,b]--->IR kann man ja ne Taylorentwicklung machen, das Restglied ist aber nur ne Abbildung von [x_0,x] (oder andersrum) nach IR. Bedeutet, das dann man aus Restglied gleich Null nur folgern, darf, dass das Taylorpolynom auf [x_0,x] mit f übereinstimmt?

7. Wie kann man zeigen, dass cos, sin und exp eindeutig sind?
Das soll irgenwie so gehen, dass man sagt man nimmt an es existiert eine weitere funktion mit f'=f und (0)=1 und entwickelt dann beide in ne Potenzreihe, leider weiß ich nicht wie man daran, dann erkennen kann, dass beide f und die andere Funktion gleich sein müssen.

8. Wie kann man aus der Polardarstellung die ursprüungliche komplexe Zahl errechnen?

02.10.2005, 16:33

DGU

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etwas grundsätzliches: hier rechnet dir keiner etwas vor, hier wird nur hilfestellung gegeben:

ad 1: setze mal bei der Eulerschen Identität x = pi / 2

ad 8: geometrische Betrachtung: geg. ist die Hypothenuse und ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks != pi / 2, die Berechnung der anderen beiden Seiten verläuft über sin bzw. cos

02.10.2005, 16:34

n!

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ich fange mal an mit dem vermeintlich leichtesten:

4) versuche diese Reihe zu vergleichen.Also finde eine Reihe,die stets größer oder gleich dieser Reihe ist und die auch konvergiert.Das ist ein Standartbeispiel.

5) Nein,die Umkehrung gilt nicht. Die Wurzelfunktion ist gleichmäßig stetig aber nicht Lipschitz-stetig.Es gilt:

$\begin{eqnarray*} L-stetig\Rightarrow glm stetig\Rightarrow stetig \end{eqnarray*}$

02.10.2005, 17:00

Clausthaler

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zu 1:

Es gilt $\begin{eqnarray*} e^{i \frac{\pi}{2}} =i \end{eqnarray*}$

Aber was nutzt das jetzt? Man darf ja bei ner komplexen basis jetzt nicht einfach das ganze hoch i nehmen und sagen, dass wäre i hoch i.

02.10.2005, 17:13

DGU

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wieso nicht?

02.10.2005, 17:19

Clausthaler

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Zitat:

Original von DGU
wieso nicht?

Man kann

$\begin{eqnarray*} (a^z)^w \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} a^{z*w} \end{eqnarray*}$ umformen.....

Deshalb seh ich nicht wies hier weiter gehen soll.......

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02.10.2005, 17:29

Leopold

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Im Komplexen definiert man wie im Reellen

$\begin{eqnarray*} a^b = \exp{(b \cdot \log{a})} \end{eqnarray*}$

hat aber mit der sich durch den Logarithmus einschiebenden Mehrdeutigkeit zu leben.

So ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^{\operatorname{i}} = \exp{(\operatorname{i} \cdot \log{\operatorname{i}})} = \exp{\left(\operatorname{i} \cdot \left( \operatorname{i} \cdot \frac{\pi}{2} - \operatorname{i} \cdot 2 \pi k \right) \right)} = \operatorname{e}^{- \frac{\pi}{2} + 2 \pi k} \ \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Um ein eindeutiges Ergebnis zu bekommen, muß man sich für einen dieser unendlich vielen Möglichkeiten entscheiden, z.B. $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ beim sogenannten Hauptwert. Potenzgesetze im üblichen Sinne gelten dann aber nicht mehr.

02.10.2005, 17:38

Clausthaler

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Ok.

4,5,8 sind erledigt.

Noch kurz was zu 1.

Das Ergebniss kann man dann ja mit der eulerschen formel in a+ib umrechnen oder? (Wenn keiner widerspricht reicht mir das als bestätigung...)

Fehlen noch 2,3,6,7,

02.10.2005, 17:40

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^{\operatorname{i}} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

02.10.2005, 17:40

DGU

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das Ergebnis der 1. ist rein reell, also b=0

02.10.2005, 17:47

Leopold

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3. Die gleichmäßige Stetigkeit überträgt sich von einer Menge auf eine Teilmenge.

02.10.2005, 18:09

papahuhn

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^{\operatorname{i}} = \operatorname{e}^{- \frac{\pi}{2} + 2 \pi k} \ \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Um ein eindeutiges Ergebnis zu bekommen, muß man sich für einen dieser unendlich vielen Möglichkeiten entscheiden, z.B. $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ beim sogenannten Hauptwert.

Das verstehe ich nicht. Bei $\begin{eqnarray*} i^i \end{eqnarray*}$ handelt es sich nicht um eine Gleichung, sondern um einen Term, der einen Wert haben muss. Was gibts da zu entscheiden?

02.10.2005, 18:11

Leopold

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Bei $\begin{eqnarray*} \frac{4}{0} \end{eqnarray*}$ handelt es sich um einen Term, der einen Wert haben muß! Was gibt es denn nun hier zu entscheiden?

02.10.2005, 18:19

papahuhn

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Ok, dann halt nicht jeder Term. Manches ist halt nicht definiert. Durch Null darf man nicht teilen. Im Komplexen darf man sich für manches einen Wert aussuchen? Was ist das für ein bescheuerter Körper? Mit dem wechsle ich kein Wort mehr.

02.10.2005, 18:21

Leopold

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Nicht auf den Körper, auf den Geist kommt es an!

02.10.2005, 21:00

Mathespezialschüler

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2. Bedeutet es das gleiche wie was? Du hast da oben nur eine Formulierung genannt, zu welcher soll die äquivalent sein?

6. Also ich kenne es so, dass man $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ festhält und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in eine Taylorreihe um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ entwickeln möchte. Das Restglied ist dann eine Zahl, die von $\begin{eqnarray*} n,x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abhängt. Da $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aber fest sind, hängt es nur von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab. Es ist also eine Folge. Wenn das Restglied gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht, dann gilt für das feste $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und das feste $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ ,

aber auch nur für dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wenn du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ änderst, dann musst du erneut überprüfen, ob das Restglied gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht.

7. Wie sind denn $\begin{eqnarray*} \exp x,\sin x,\cos x \end{eqnarray*}$ bei dir definiert?

Gruß MSS

03.10.2005, 15:41

Clausthaler

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2. Es geht um Stetigkeit. Bedeutet es das Gleiche wenn man Sagt:

a) für alle epsilon größer null und für alle x_0 in M existiestiert ein delta .... usw.

b) Für alle x_0 in M und für alle epsilon größer Null existiert ein delta usw......

( man vertauscht also das für alle epsilon und für alle x_0 aus M )

zu 6. Taylor

Das x_0 ist schon fest, dass x ist aber doch ne ganz normale Variable für, die man wenn man möchte Werte einsetzen darf.

zu7.

Über ihre Differentialgleicheungen, dann wurde gezeigt, dass die jeweilge Potenzreihe, das erfüllt, (soweit hab ichs kapiert) und dann wurde argumentiert, dass jede Funkiton die der gleichen Differentiallgleichung genügt die gleiche Potenzreihe hat, und das daraus dann folgt, dass die Funktion mit exp, bzw. sin und cos übereinstimmen muss, und das kapier ich nicht.

03.10.2005, 16:08

Mathespezialschüler

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2. Ja, es ist äquivalent
6. Ja, bei der Taylorreihe ist das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann variabel. Und man kann auch das Restglied in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ betrachten. D. h., das n-te Restglied ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} R_n:[a,b]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_n(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Funktionenfolge auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Für die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, stimmt die Taylorreihe (nicht das Taylorpolynom!) mit $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ überein.
7. Und was verstehst du daran nicht?

Gruß MSS

03.10.2005, 16:30

Clausthaler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
2. Ja, es ist äquivalent
6. Ja, bei der Taylorreihe ist das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann variabel. Und man kann auch das Restglied in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ betrachten. D. h., das n-te Restglied ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} R_n:[a,b]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_n(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Funktionenfolge auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Für die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, stimmt die Taylorreihe (nicht das Taylorpolynom!) mit $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ überein.
7. Und was verstehst du daran nicht?

Gruß MSS

In meinem Buch steht,
dass das das Restglied ne Funktion von [x_0,x]---->IR ist, Dadurch ergeben sich doch dann unterschiedliche Definitionsbereiche, da f ja auf [a,b] definiert ist.

Meine Frage ist (dann vorrausgesetzt das Restglied ist Null), aproximiert das Taylorpolynom dann f auf [a,b] oder auf [x_0,x]

03.10.2005, 17:15

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Clausthaler
In meinem Buch steht,
dass das das Restglied ne Funktion von [x_0,x]---->IR ist

Ich denke, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll variabel sein? Dann verändert sich ja auch das Intervall, was aber wieder quatsch ist.
Ich denke, ich verstehe mittlerweile wohl, was damit gemeint ist. Allerdings ist die Aussage, das Restglied $\begin{eqnarray*} R_n \end{eqnarray*}$ sei eine Funktion $\begin{eqnarray*} R_n:[x_0,x]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ganz bestimmt nicht richtig.
Sag mir doch bitte mal, um welches Buch es sich handelt und vor allem: welche Form das Restglied hat!!

Gruß MSS

03.10.2005, 18:06

Clausthaler

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So ich hab da bissel was durcheinander gebracht....

Ich schreib jetzt einfach ab was da steht:

Die Funktion f:[x_0,x]--->IR sei (n+1)-mal differenzierbar. Dann gibt es ein xi in (x_0,x) mit

$\begin{eqnarray*} R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann gilt: f(x)=n-tes Taylorpolynom + R_n

Also ich glaub dann folgt aus R_n=0 auch nur, dass f(x)=n-tes Taylorpolynom auf dem Intervall [x_0,x ] gilt.......

Bin etwas durcheinander gekommen weil 2 Seiten vorher f noch von [a,b]---->IR ging.

Das Buch heißt Analysis Band I, und ist von Erhard Behrends, das Zeugs steht auf Seite 265.

03.10.2005, 18:32

Mathespezialschüler

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Das sieht doch schon wesentlich freundlicher aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Clausthaler
Also ich glaub dann folgt aus R_n=0 auch nur, dass f(x)=n-tes Taylorpolynom auf dem Intervall [x_0,x ] gilt.......

Genau das folgt daraus nur. Das interessiert aber meistens keinen, weil das eher selten vorkommt. Was meistens interessiert, ist, ob das Restglied $\begin{eqnarray*} R_n(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht. Wenn es das nämlich tut, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ .

Du kannst also die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch die Taylorpolynome approximieren:

$\begin{eqnarray*} f(x)\approx \sum_{k=0}^n~\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ .

Diese Approximation ist im Allgemeinen umso besser, je größer du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wählst.

PS: Ist 7. noch offen? Wenn ja, dann nochmal die Frage: Was genau verstehst du denn daran nicht?

Gruß MSS

03.10.2005, 21:25

Clausthaler

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7. ist noch offen.

Also da wird gesagt gesucht ist f mit: f'=f unf f(0)=1

Dann wurde gezeigt, dass die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ beide Bedingungen erfüllt.

Und dann wurde für mich nicht nachvollziehbar daraus gefolgert, dass dann jede Funktion die den oben genannten Differentialgleichungen genügt, in eine Potenzreihe entwickelbar ist die identisch mit der angegeben ist. Und daraus wurde dann gefolgert, dass es nur eine Funktion gibt, die die obigen Differentialgleichungen erfüllt.

03.10.2005, 21:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Clausthaler
Und dann wurde für mich nicht nachvollziehbar daraus gefolgert, dass dann jede Funktion die den oben genannten Differentialgleichungen genügt, in eine Potenzreihe entwickelbar ist die identisch mit der angegeben ist. Und daraus wurde dann gefolgert, dass es nur eine Funktion gibt, die die obigen Differentialgleichungen erfüllt.

Naja, um zu verstehen, warum du das nicht verstehst, müsste man den Beweis wohl sehen. Übrigens wurde hier die Eindeutigkeit schonmal ohne Potenzreihen bewiesen.

Gruß MSS

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