Projektion eines Vektors auf einen Raum

09.04.2008, 16:56

theMinimalist

Projektion eines Vektors auf einen Raum

Hallo,

ich hab eine Frage zu Vektoren...
ich weiß zwar wenn ich einen Vektor auf einen anderen projeziere, dass das wie folgt geht
(Beispiel Projeziere v auf w)

$\begin{eqnarray*} u=\frac{\vec{v}*\vec{w}}{\vec{w}^2}*\vec{w} \end{eqnarray*}$

oder bei ortogonalprojektion

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{<\vec{v} ; \vec{w}>}{ <\vec{v} ; \vec{v}> } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u= \lambda*\vec{w} \end{eqnarray*}$

richtig oder?

aber wie sieht das nun aus wenn ich
z.B.: nehmen wir die Vektoren v,w an die einen Unterraum U aufspannen.

jetzt soll ich y auf U projezieren. (bzw. orthogonalprojezieren)

nehmen wir folgende Werte an:
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei der Orthogonalprojektion würde ich zuerst eine Ortonormalbasis von U suchen, und vermutlich dann auf diese projezieren, oder liege ich da falsch?

Ich hab bereits seit gestern im I-Net gesucht nach Anleitung, aber leider weder hier noch sonst wo, eine Anleitung für Räume, sondern nur für einen Vektor auf einen anderen projezieren gefunden.

Danke im Voraus

10.04.2008, 02:30

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zuerst orthonormalisierst du die Basis nach Gram-Schmidt. Es seien $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ die Vektoren der gefundenen Orthonormalbasis. Dann ist die Orthogonalprojektion gegeben durch

$\begin{eqnarray*} Px = \sum_{k=1}^n \langle x,v_k\rangle v_k. \end{eqnarray*}$

10.04.2008, 09:31

theMinimalist

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit Orthonormalbasis ist kein Problem.

aber die Projektion (nicht orthonormal) sieht dann so aus oder:

$\begin{eqnarray*} P = <\vec{y} ; \vec{w}> * \vec{w} + <\vec{y} ; \vec{v}> * \vec{w} \end{eqnarray*}$

oder steht das * am Ende der Reihe für "ich soll das mit dem nächsten Glied multiplizieren" ?

03.05.2008, 16:13

theMinimalist

Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir vielleicht noch jemand bei dem Beispiel helfen?

04.05.2008, 05:30

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von theMinimalist
oder steht das * am Ende der Reihe für "ich soll das mit dem nächsten Glied multiplizieren" ?

Das ist ein Punkt! Augenzwinkern