Stammfunktion zu cos^2(x)

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02.10.2005, 18:01

Permertesacker

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Stammfunktion zu cos^2(x)

Wie kriegt man ne stammfunktion zu cos^2(x) ???

02.10.2005, 18:05

Lazarus

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stichwort kettenregel !

02.10.2005, 18:08

Leopold

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Stichwort "Boardsuche".
Das Thema wurde in den letzten zwei Jahr hier schon mindestens 4953mal behandelt.

02.10.2005, 18:08

JochenX

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anderes stichwort eher: partielle integration
wenn mich nicht alles täuscht einmal partiell integrieren und dann sin^2+cos^2=1 verwenden

@lazaurs: stammfunktion

02.10.2005, 18:09

riwe

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RE: Stammfunktion zu cos^2(x)
setze t = tan(x/2)

Bronstein nr. 314: I = 1/2x + 1/4 sin(2x)

werner

02.10.2005, 18:16

Lazarus

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@ loed

wer lesen kann ist klar im vorteil^^
entschuldigung !

02.10.2005, 18:50

permertesacker

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RE: Stammfunktion zu cos^2(x)

Zitat:

Original von wernerrin
setze t = tan(x/2)

Bronstein nr. 314: I = 1/2x + 1/4 sin(2x)

werner

Etwa so:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\cos \tan\frac{x}{2} \cos \tan\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$

??? Wie kommt man dann weiter?

02.10.2005, 21:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von wernerrin
setze t = tan(x/2)

Bronstein nr. 314: I = 1/2x + 1/4 sin(2x)

Das ist eindeutig zu kompliziert!!

@permertesacker
Benutze $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=\frac{1+\cos 2x}{2} \end{eqnarray*}$ oder mach es so wie hier.

Gruß MSS

03.10.2005, 10:13

riwe

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@hallo mss,
da hast du im konkreten fall natürlich vollkommen recht, ich wollte nur die allg. substitution angeben, hier schießt man damit mit kanonen auf spatzen!

werner

n.s. schau mal deinen beitrag hier an.

03.10.2005, 12:01

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von wernerrin
n.s. schau mal deinen beitrag hier an.

Du meinst aber den hier und nicht den oder? Augenzwinkern

Gruß MSS

03.10.2005, 14:46

riwe

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von wernerrin
n.s. schau mal deinen beitrag hier an.

Du meinst aber den hier und nicht den oder? Augenzwinkern

Gruß MSS

nein, ich meine schon den

werner

03.10.2005, 15:54

permertesacker

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Ok. Dann versuch ich mal das zu Ende zu führen....

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\cos^2{u}~\mathrm{d}u \ = \ \frac{1}{2} \int_{}^{}~2 \cos^2{u}~\mathrm{d}u \ = \ \frac{1}{2} \int_{}^{}~\left( \cos^2{u} + \cos^2{u} \right)~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \frac{1}{2} \int_{}^{}~\left( \cos^2{u} + 1 - \sin^2{u} \right)~\mathrm{d}u \ = \ \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \int_{}^{}~\left( \cos{u} - \sin{u} \right) \left( \cos{u} + \sin{u} \right)~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

mit der substitution kommt dann raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} u+ \frac{1}{2} \int_{}^{}~v~dv=\frac{1}{2} u+ \frac{1}{4}v^2=\frac{1}{2} u+ \frac{1}{4}(\cos u+\sin u)^2 \end{eqnarray*}$

weiter gehts:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} u+ \frac{1}{4}(\cos^2 u+\sin^2 u+2\cos u \sin u)=\frac{1}{2} u+ \frac{1}{4}(1+2\cos u \sin u) \end{eqnarray*}$

und jetzt??

03.10.2005, 16:35

Mathespezialschüler

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Und jetzt hast du eine Stammfunktion zu

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos^2x \end{eqnarray*}$ ,

nämlich

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(1+2\cos x\sin x) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

03.10.2005, 16:42

permertesacker

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Sieht aber doch anders aus als :

1/2x + 1/4 sin(2x)

03.10.2005, 17:24

Mathespezialschüler

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Sieht anders aus, ist aber bis auf eine Kosntante das gleiche!!

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(1+2\cos x\sin x)=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x\right)+\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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