Fläche zwischen zwei graphen

02.10.2005, 19:40

Lazarus

Fläche zwischen zwei graphen

Gegeben ist die funktion $\begin{eqnarray*} f: x \mapsto x^3 \ ; \ x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sowie desweiteren die gerade g mit der gleichung $\begin{eqnarray*} 7x-y-6=0 \end{eqnarray*}$
a) berechnen sie die schnittpunkte von g unf dem graphen G_f
b) welchen inhalt hat das im I Quadranten gelegene, von g und G_f begrenzte Kurvensegment ?

Lösung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=7x-6 \end{eqnarray*}$
schnittpunkte:
$\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^3-7x+6 = 0 \end{eqnarray*}$
durch polynomdivison durch x-1 kommt man dann zu $\begin{eqnarray*} x^2+x-6 \end{eqnarray*}$ das einem die beiden anderen lösungen liefert: -3 und 2
-3 fällt weg da nicht im ersten quadranten.

also ist das flächenstück um welches sich das interesse dreht zwischen den zwei schnittpunkten x=1 und x=2
also hab ich angesetzt mit
$\begin{eqnarray*} A= \int\limits_1^2{g(x)} - \int\limits_1^2{f(x)} = \left[G(2)-G(1)\right]-\left[F(2)-F(1)\right] = 2-\frac{1}{2}-1+ \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
aber das kann doch eigentlich nicht sein oder ?

bitte um hilfe !

servus

02.10.2005, 20:05

KimmeY

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RE: Fläche zwischen zwei graphen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A= \int\limits_1^2{g(x)} - \int\limits_1^2{f(x)} = \left[G(2)-G(1)\right]-\left[F(2)-F(1)\right] = 2-\frac{1}{2}-1+ \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
aber das kann doch eigentlich nicht sein oder ?

warum sollte das nicht sein? hab das ganze mal bei funkyplot eingesetzt und mir da die fläche zwischen den beiden graphen angeben lassen und der hat 0.75 raus, also das selbe was du hast... außerdem erscheint deine vorgehensweise richtig...

ich frag mich nur was du gerechnet hast, denn ich hatte $\begin{eqnarray*} A= \int\limits_1^2{g(x)} - \int\limits_1^2{f(x)} = \left[G(2)-G(1)\right]-\left[F(2)-F(1)\right] = (2-(-2,5))-(4-0,25)= 4,5-3,75 = 0,75 = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
also die zahlen sind bei mir etwas anders, das ergebnis stimmt jedoch wieder.... was hast du denn für die G(x) bzw. F(x) raus???

dennoch, das ergebnis müsste stimmen.........

03.10.2005, 01:08

Lazarus

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ich weiß ned, des kam mir so wenig vor ...
werds morgen mal mit maple berechnen.

achja, noch eine frage, muss ich eigentlich erst durch polynomdivision die schnittpunkte berechnen und dann umständlich die beiden flächen ausrechnen, oder geht das auch leichter, z.b. so:

beim ansatz zu den schnittpunkten bekommen wir ja ne neue funktion $\begin{eqnarray*} a(x)=x^3-7x+6 \end{eqnarray*}$ die gibt ja den abstand an, den die graphen von einander haben, wenn die 0 wird, gibts nen schnittpunkt.

dann könnte ich doch auch gleich davon des integral bilden in dem bereich oder ?

servus

03.10.2005, 13:34

KimmeY

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natürlich geht das auch mit der Gleichung, denn $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~g(x) - \int_{1}^{2}~f(x) =\int_{1}^{2}(g(x)-(f(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)-f(x)=-x^3+7x-6 \end{eqnarray*}$ ... allerdings solltest du dabei darauf achten, dass du die Funktion, die in dem bereich der für dich wichtig ist, oben liegt als erstes nimmst, und die andere davon abziehst (wäre bei dir also f(x)-g(x)) weil sonst, das ergebnis negativ wird. oder du setzt betragsstriche

allerdings frage ich mich wie du aus der gleichung ohne polynomdivision die schnittpunkte bekommen willst, denn die brauchst du.....

03.10.2005, 14:52

Lazarus

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bei einer solch leichten aufgabe (lösungen x_1=1 und x_2=2) isses ganz leicht, es ist offentsichtlich!
ich hatte sowieso schon die vermutung das es das die beiden lösungen sind, denn schliesslich geben die koffizienten zu sammen 0 (=> 1 ist eine lösung) und dann liegen die noch so günstig das man der vermutung x_2=2 ist auch eine lösung kaum entgehen kann.
als ich das dann auch durch polynomdivision rausbekommen hab, hab ich mir gedacht das ich mir das auch hätte schenken können.

reicht das denn aus, wenn ich das seh, einsetzt und vorrechne das es 0 wird ?

servus

03.10.2005, 16:04

KimmeY

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also bei uns reicht das aus. weil im prinzip machst du ja bei der polynomdivision auch nichts anderes. die erste nullstelle musst du ja auch raten (mithilfe kleinerer tricks), warum solltest du das bei den anderen nicht auch machen können? bei uns steht dann z.b. in der aufgabenstellung: " berechne die nullstellen der Funktion mithilfe der Polynomdivision..... ", dann weißt du ok, du musst es machen, wenn nichts da steht sollte es eigentlich egal sein wie du drauf kommst.

ich würd an deiner stelle aber einfach mal euren lehrer fragen, wie der das sieht. ansonsten, mit der polynomdivision stehst du in jedem fall auf der richtigen seite, das kann dir keiner ankreiden. Augenzwinkern

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