Dimensionssatz mit 3 Unterräumen

09.04.2008, 19:34	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionssatz mit 3 Unterräumen Hallo, ich soll folgende Gleichung mit Hilfe des Dimensionssatzes beweisen: $\begin{eqnarray} \dim_K U+\dim_K V+\dim_K W=\dim_K (U+V+W)+\dim_K ((U+V)\cap W)+\dim_K(U\cap V) \end{eqnarray}$ als Tipp dazu: finden Sie eine surjektive lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \delta : V\times U \times W \rightarrow U+V+W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ker \delta \rightarrow ((U+V)\cap W) \end{eqnarray}$ und wenden sie den Dimensionssatz zweimal an. ---------- Dimensionssatz ist ja kein Problem $\begin{eqnarray} \dim V = \dim (\rm{im} f)+ \dim (\ker f) \end{eqnarray}$ jedoch versteh ich bei dem Tipp nicht, wie der Kern von Delta auf den Raum abbilden kann. logisch kann ich die obige Gleichung nachvollziehen, jedoch wüsste ich nicht, wie ich da eine Funktion einbauen könnte, geschweige denn den Bildbereich der Funktion irgendwie zu verwenden, da ich darüber ja noch weniger weiß. Bin über nützliche Tipps sehr dankbar.
09.04.2008, 19:43	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Behauptung folgt unmittelbar aus der Identität $\begin{eqnarray} \dim_K(X+Y)=\dim_KX+\dim_KY-\dim_K(X\cap Y) \end{eqnarray}$ für zwei Unterräume $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ eines K-Vektorraumes (der Nachweis ist einfach). Gruß, therisen
09.04.2008, 19:55	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \dim U+\dim V+\dim W \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\dim (U+V)+\dim (U\cap V)+\dim W \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\dim (U+V)+\dim W+\dim (U\cap V) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\dim (U+V+W)+\dim ((U+V)\cap W)+\dim (U\cap V) \end{eqnarray}$ hmm, das mit der Abbildung und dem ker delta, hat mich total irritiert. so isses ja natürlich trivial. aber trotzdem danke.
09.04.2008, 20:11	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis für die Identität $\begin{eqnarray} \dim_K(X+Y)=\dim_KX+\dim_KY-\dim_K(X\cap Y) \end{eqnarray}$ ist übrigens ein Einzeiler, wenn man den Dimensionssatz (auch als Rangsatz bekannt) verwenden darf (man gibt einen geeigneten Epimorphismus an; darauf soll wohl auch die Aufgabenstellung abzielen).

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