partielle Ableitung

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03.10.2005, 11:40	Markusa	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Ableitung Hallo, habe hiier folgende AAufgabe und frage mich wie ihr sie Lösen würdet: Man prüfe, ob die Fumktion f: R^2-->R mit f(x)= e^(-[1]/[x^2(unten 1)+x^2(unten 2)]) für x ungleich (0,0) 0 für x = (0,0) auf R^2 total differenzierbar ist (d.h. ob die partiellen Ableitungen stetig sind) und gebe gegebenfalls die Ableitungen an.
03.10.2005, 12:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Was hast du dir denn dazu schon überlegt? Komplettlösungen bekommst du hier nicht, siehe Boardprinzip. Hast du schonmal die partiellen Ableitungen gebildet? Gruß MSS
03.10.2005, 12:15	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst Du $\begin{eqnarray} f(x,y)=\begin{cases} e^{\frac{-1}{x^2 + y^2}}, & \mbox{wenn } x \vee y \neq 0 \\ 0, & \mbox{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray}$ ?
03.10.2005, 12:47	Markusa	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Ableitungen kann ich bilden: 1. f(x)= $\begin{eqnarray} \frac{2x}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} e^\frac{-1}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ 2. f(x)= $\begin{eqnarray} \frac{2y}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} e^\frac{-1}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ mein problem ist es zu zeigen das es stetig ist
03.10.2005, 12:57	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also folgendes Wenn Du Stetigkeit zeigen willst wirst Du um Epsilon-delta oder gewisse Abschätzungen nicht herumkommen. Sobald eine Funktion mehr als Abhängige hat kannst Du nicht einfach mehr Grenzwerte bilden. Andersherum aber wenn Du nicht Stetigkeit zeigen willst lohnt sich das Folgenkriterium schon. Eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2 ... x_n) \end{eqnarray}$ ist Stetig auf $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ wenn alle möglichen Folgen der Argumente den selben GW haben, nämlich den an der Stelle $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2 ... x_n) \end{eqnarray}$ Was man nun tun kann um zu zeigen das die Funktion nicht stetig ist, ist einfach eine solche Folge zu betrachten. Beispiel $\begin{eqnarray} f(x,y)=\begin{cases} {\frac{1}{x^2 + y^2}}, & \mbox{wenn } x \vee y \neq 0 \\ 0, & \mbox{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray}$ Ich wähle die Folge x = y also ergibt sich $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{1}{x^2 + y^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x^2} \end{eqnarray}$ da x = y $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x^2} = \infty \end{eqnarray}$ Damit ist f(x,y) nicht stetig in (0,0) weil wir eine Folge gefunden haben in der $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \neq f(0,0) \end{eqnarray}$ Wie gesagt für die Stetigkeit müsstest Du zeigen das jede mögliche Folge der Funktionswerte gegen diesen Wert strebt oder aber epsilon delta ansetzen. Dann arbeitest Du aber mit Umgebungen und nicht mit intervallen. Ich würde aber erstmal schauen ob die Ausgangsfunktion überall Stetig ist. Findest Du eine Unstetigkeitsstelle ist sie an der Stelle auch nicht diff'bar.
03.10.2005, 13:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Markusa Und wie sieht es aus mit den partiellen Ableitungen im Punkt $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ ? @Mazze $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ ist aber keine Folge!!!! Gruß MSS
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03.10.2005, 13:37	Markusa	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mal nochmal zu den Ableitungen es muß doch $\begin{eqnarray} \frac{2}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} e^\frac{-1}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} e^\frac{-1}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ heißen oder? $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ ergibt ja auch $\begin{eqnarray} \frac{-2}{x^3} \end{eqnarray}$ oder hab ich jetzt ein hänger?
03.10.2005, 13:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Das oben war schon richtig. Wenn du $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{-1}{x^2+9} \end{eqnarray}$ ableitest, kommt dann bei dir $\begin{eqnarray} g'(x)=\frac{2}{(x^2+9)^2} \end{eqnarray}$ raus?? Gruß MSS
03.10.2005, 13:56	Markusa	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bin ich jetzt irgendwie langsam nicht mehr ganz klar. Was ist gemeint mit den partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) muß man da irgenetwas zeigen?
03.10.2005, 14:06	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mazze Das stimmt nicht. Die Funktion ist sowohl stetig als auch nach beiden Variablen partiell differenzierbar in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ !!! Die partiellen Ableitungen sind dort sogar wieder stetig, du hast dich also ganz schön verschätzt. @Markusa In $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ ist die Funktion ja nicht so definiert wie in allen anderen Punkten und deine partiellen Ableitungen sind in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ ebenfalls nicht definiert. Gruß MSS
03.10.2005, 14:07	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe ich hab auch meinen fehler schon. Schnell ma weg machen.
03.10.2005, 14:37	Markusa	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was hab ich für den Punkt (0,0) zu Zeigen?
03.10.2005, 14:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray} f_1(x)=f(x,0)=\begin{cases} \operatorname e^{-\frac{1}{x^2}} & \text{für }x\neq 0 \\ 0 & \text{für }x=0\end{cases} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Entprechendes musst du zeigen für $\begin{eqnarray} f_2(y)=f(0,y)=\begin{cases} \operatorname e^{-\frac{1}{y^2}} & \text{für }y\neq 0 \\ 0 & \text{für }y=0\end{cases} \end{eqnarray}$ , was aber wegen der Gleichheit der Funktionen $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ trivial ist, falls du es für $\begin{eqnarray} f_1(x) \end{eqnarray}$ hast. Gruß MSS
03.10.2005, 15:28	Markusa	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wär dann doch einfach $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0} e^\frac{-1}{h^2} \end{eqnarray}$ =0 $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray}$ =0 Somit ist es differenzierbar da die Grenzwerte gleich sind oder bin ich wieder falsch?
03.10.2005, 17:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig, aber die Begründung ist falsch! Die Grenzwerte sind zwar gleich, aber das hat nichts mit partieller Differenzierbarkeit zu tun! $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ partiell nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ differenzierbar, weil $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray}$ existiert. Und $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ partiell nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ differenzierbar, weil $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray}$ existiert. Dass die Grenzwerte, also die partiellen Ableitung nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in diesem Punkt, beide gleich sind, ist Zufall!! Die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} (3,5) \end{eqnarray}$ ist doch auch nicht gleich der partiellen Ableitung nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} (3,5) \end{eqnarray}$ !! Trotzdem ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in diesem Punkt nach beiden Variablen differenzierbar. Gruß MSS
04.10.2005, 12:50	Markusa	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war sehr hilfreich danke vielmals!!
04.10.2005, 12:52	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Konntest du denn jetzt auch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen zeigen? Gruß MSS

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