Tetraeder im R3 - Volumenberechnung

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KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraeder im R3 - Volumenberechnung
seufz, schon wieder ein weiteres Rätsel vor dem ich stehe unglücklich

also, die Aufgabe:

Zeige, dass der Punkt D(4/1/4) nicht in der Ebene F liegt. Der Punkt D spannt mit den Spurpunkten der Ebene F ein Tetraeder auf. Bestimme das Volumen dieses Tetraeders.

So, die Ebene:

hatte vorher den Normalvektor ausrechnen müssen in ner anderen Teilaufgabe der war , damit und mit dem Ortsvektor aus der Parameterform komm ich auf eine Koordinatenform die so lauten:

dann hab ich für die Spurpunkte A( 3/0/0); B(0/-1,5/0); C(0/0/0,6) raus. Wenn ich den Punkt D in die Koordinatenform einsetze finde ich auch raus, dass er nicht in der Ebene liegt.

So, mein Problem, ich hab nun nachgeschaut wegen dem Volumen von nem Tetraeder, bzw. was son Tetraeder ist, und da bin ich auf so ne Gleichung gestoßen im Tafelwerk, die besagt: und davon ausgeht, dass alle Seiten gleich lang sind. Tja, jetzt hab ich mir mein Teil aus den 4 Punkten ageschaut und die sind leider nicht alle Seiten gleich lang.

Hab ich mich verrechnet oder kann nen Tetraeder auch einfach nur ne Pyramide mit nem Dreieck als Grundflächse sein, dann wüsste ich ja wie ich das ausrechen kann.

Danke

EDIT: verschrieben, shit, damit erklärt sich auch der Fehler der beim umwandeln in die Koordinatenebene gefunden wurde.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder im R3 - Volumenberechnung
Zitat:
Original von KimmeY
hatte vorher den Normalvektor ausrechnen müssen in ner anderen Teilaufgabe der war , damit und mit dem Ortsvektor aus der Parameterform komm ich auf eine Koordinatenform die so lauten:

d solltest du noch einmal überprüfen. Dann kommst du auch auf andere Spurpunkte.

Was das Volumen selbst angeht, dürfte das Spatprodukt praktisch sein. Muss ich mir aber selbst noch einmal ansehen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ich habe schon verschiedene definitonen von tetraeder gesehen und gelesen.

zum einen der bekannte tetraeder, der platonische körper.
in einem seminarvortrag letztes semester wurden wir dann aber plötzlich mit tetraedern vom typ 1 (bis typ was weiß ich) bombardiert, die nicht der bekannten definition entsprachen

ich vermute also, dass du hier einfach das pyramidenvolumen bestimmen sollst

mfg jochen


ps: ich verschiebs mal nach geometrie
*verschoben*
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal (korrigierte) Ebene und Pyramide plotten lassen:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Tetraeder ist einfach ein von vier Dreiecken begrenzter Körper. Sehr oft hat man es mit dem regulären Tetraeder zu tun, bei dem alle Kanten gleichlang sind, so daß die Seitenflächen kongruente gleichseitige Dreiecke werden. Irgendwann einmal geht dann das Wort regulär verloren, so daß die Begriffe Tetraeder und reguläres Tetraeder zu einem einzigen verschmiert werden.

Ein Tetraeder kann als dreiseitige Pyramide aufgefaßt werden, deren Grundfläche wieder ein Dreieck ist. Jedes der vier Dreiecke kann als Grundfläche dienen, die drei restlichen Dreiecke als Seitenflächen.

Wenn dir Spatprodukt oder dreireihige Determinanten vertraut sind, kannst du, wie sqrt(2) schon festgestellt hat, das Tetraedervolumen damit berechnen.

Es geht natürlich auch mit der Formel



Als Höhe bietet sich hier der Abstand von zu an, den du ja leicht berechnen kannst, da dir schon in Normalenform vorliegt (Rechenfehler beseitigen!). Und ist dann der Inhalt des Dreiecks aus den drei Spurpunkten .
Um nun wiederum zu bestimmen, kannst du Vektorformeln zur Berechnung einer Dreiecksfläche verwenden. Es geht aber auch mit folgendem Trick: Bestimme als Hilfsgröße das Volumen des Tetraeders ( ist der Ursprung). Das geht ganz leicht, weil alle benötigten Größen aus den Koordinaten der Punkte abgelesen werden können. Dieses Volumen ist aber zugleich , wobei der Abstand von zu ist. kann wieder über die Normalenform von ermittelt werden und somit kann auch berechnet werden.
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder im R3 - Volumenberechnung
Zitat:
Original von sqrt(2)
Zitat:
Original von KimmeY
hatte vorher den Normalvektor ausrechnen müssen in ner anderen Teilaufgabe der war , damit und mit dem Ortsvektor aus der Parameterform komm ich auf eine Koordinatenform die so lauten:

d solltest du noch einmal überprüfen. Dann kommst du auch auf andere Spurpunkte.

Was das Volumen selbst angeht, dürfte das Spatprodukt praktisch sein. Muss ich mir aber selbst noch einmal ansehen.


erstmal danke für die zahlreichen antworten, wie ich das volumen einer Pyramyde ausreche und weiteres weiß ich alles, mir ging es halt nur darum dass da von einem tetraeder die Rede war und ich halt kein plan hatte wie genau sowas definiert ist....

erm, was ist denn an dem normalenvektor bzw. der koordinatenform der Ebene falsch? ich find da grad nichts. also, der normalenvektor muss zu beiden richtungsvektoren der ebene senkrecht sein, skalarprodukt = 0, was ja hier der fall ist. dann haben wir gelernt, dass der normalvektor auch die koefizienten vor x1 -x3 in de rkkordinatenform angibt, hab ich auch gemacht, nur dass wir halt nicht wissen was auf der anderen seite steht. wenn ich allerdings einen punkt aus der ebene (z.B. wie bei mir den ortsvektor) einsetzten, muss die gleichung ja stimmen, daher kann ich ja so die andere seite ausrechnen, was bei mir 3 wird. bitte sagt mir wo ich da falsch gedacht habe...
 
 
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

edit: schrott geschrieben!
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

aber der normalenvektor passt doch so zu der parametergeichung verwirrt

der normalvektor muss zu beiden richtungsvektoren der Ebene senkrecht sein --> Skalarprodukt = 0


und ebenso passt doch beides^^

irgendwie seh ichs grad einfach nicht^^ unglücklich
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry kimmey!
habe gerade gesehen ich hatte beim abschreiben ein minus vergessen! dein normalenvektor ist richtig! werde gleich meinen beitrag von oben verbessern!
sorry!
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

ok, kann ja passieren Augenzwinkern , aber damit bin ich immer noch nciht weiter. wo liegt der fehler den sqrt(2) angesprochen hat???

EDIT: müsste sich erledigt haben. hatte mich im ersten post beim ortsvektor verschrieben, für x1 hatte ich -2 statt -1 geschrieben Hammer , hab das korrigiert, damit müsste dann auch meine kkordinatenform stimmen.
danke für eure antworten, oh man hatte mich gefreut das ein tetraeder so einfach ist, aber so, dann muss ich ja doch noch ne ganze menge rechnen *seufz*
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

V = 4,05 (gerundet) kann das sein?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe genau 4,05 heraus (Hälfte des Spats).
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

hab keine ahnung was ein spat ist, aber da ich die ganze zeit gerundet hab, erfreut mich das ergebnis smile

danke für eure hilfe, hoffe ich hab euch nicht zu sehr verwirrt^^
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Dummerweise habe ich mich erst verrechnet und dann die dreidimensionale Wirklichkeit grob vernachlässigt.

Ein Sechstel des Volumens des Spats beträgt 2,85, das müsste auch das Volumen der Pyramide sein.
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

ahja ok, dann rechne ich das nochmal nach... aber was ist ein spat?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dem Link, den ich dir oben gegeben habe, folgst, findest du auch diese Seite.
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke.....

naja, das lass ich mal lieber außen vor, weil ich nicht wüsste wie ich auf genau 1/6 des spatproduktes komme und 2. hab ich keinen plan vom kreuzprodukt, das kommt glaub ich noch, danke trotzdem
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

der betrag des kreuzproduktes a x b repräsentiert geometrisch die fläche des von a und b aufgesapannten parallelogramms, da du ein dreieck hast => 1/2, und weil es sich um eine pyramide handelt => 1/3
werner
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Dummerweise habe ich mich erst verrechnet und dann die dreidimensionale Wirklichkeit grob vernachlässigt.

Ein Sechstel des Volumens des Spats beträgt 2,85, das müsste auch das Volumen der Pyramide sein.


Jo passt, hatte meinen fehler auch gefunden, und heute die Lösung dazu bekommen, danke nochmal smile
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