Benutzung von d , kleinem und großem Delta

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03.10.2005, 14:52	Lefko	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutzung von d , kleinem und großem Delta Hallo Leute , langsam muss ich s dochmal rausfinden, evtl. könnt ihr mir das erklären: Wann verwendet man wie z.B. bei Integralen d (als dx oder dt), wann benutzt man $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ (wie in partiellen Ableitungen) und wann $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ ? z.B. die Definition der Inneren Energie U (Thermodynamik): $\begin{eqnarray} dU = \delta Q + \delta W \end{eqnarray}$ Warum dU und warum $\begin{eqnarray} \delta Q \end{eqnarray}$ ? Wäre gut, wenn ihr mir das erklärt.... MfG Lefko
05.10.2005, 00:34	Lefko	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir das keiner mal ein bisschen erklären?
05.10.2005, 01:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \Delta ... \end{eqnarray}$ steht im Allgemeinen einfach nur für eine Differenz zweier konkreter Werte. In Naturwissenschaften ist das oft die Änderung einer Größe, allerdings nicht die infinitesimale Änderung (s. u.), sondern eine diskrete Änderung. Beispiel: $\begin{eqnarray} \Delta s=s'-s \end{eqnarray}$ als Wegänderung. Teilt man dies durch die Zeitänderung $\begin{eqnarray} \Delta t=t'-t \end{eqnarray}$ , dann erhält man bekanntlicherweise die Durchschnittsgeschwindigkeit (also die durchschnittliche Änderung der Geschwindigkeit) $\begin{eqnarray} \overline v \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \overline v=\frac{\Delta s}{\Delta t} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mathrm d... \end{eqnarray}$ steht einfach für eine infinitesimal kleine Größe. Das ist das sogenannte Differential. Wenn wir oben $\begin{eqnarray} s'\to s \end{eqnarray}$ laufen lassen, bekommen wir sozusagen $\begin{eqnarray} \mathrm ds \end{eqnarray}$ , allerdings ist $\begin{eqnarray} \mathrm ds\neq 0 \end{eqnarray}$ . Es ist aber auch keine reelle Zahl. Es ist etwas dazwischen. Das ist in dem schon verlinkten Wikipedia-Artikel ganz gut erklärt (siehe aber auch Infinitesimalzahl). Aus $\begin{eqnarray} \Delta s \end{eqnarray}$ wird also $\begin{eqnarray} \mathrm ds \end{eqnarray}$ . Und jetzt nochmal zur Geschwindigkeit: Lassen wir bei $\begin{eqnarray} \overline v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s'-s}{t'-t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t'\to t \end{eqnarray}$ gehen, dann geht dieser Quotient ja gegen die Ableitung (infinitesimale Änderung) der Wegfunktion im Punkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , und das ist ja die momentane Geschwindigkeit. Der Bruch geht aber auch gegen $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} \end{eqnarray}$ . Also gilt $\begin{eqnarray} s'(t)=v(t)=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} \end{eqnarray}$ . Auch das ist ganz gut bei Wikipedia erklärt. Man schreibt allgemein auch für die Ableitung einer Funktion $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x) \end{eqnarray}$ . Zu dem $\begin{eqnarray} \delta ... \end{eqnarray}$ kann ich gar nichts sagen. Ich hab nur diesen Wikipedia-Artikel gefunden. Mir war das vorher nicht bekannt und es wundert mich etwas, dass soetwas in der von dir schon angesprochenen physikalischen Gleichung etwas zu suchen hat. Naja, was soll's ... Gruß MSS
05.10.2005, 07:48	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Das delta hat mit der distribution aus deinem Wikipedia Link wenn meine Erinnerung mich nicht täuscht nichts zu tun. Nun ist Thermodynamik nicht grade mein Lieblingsgebiet aber ich meine mich zu erinnern das sich das nur als gebräuchliche Schreibweise für dQ und dW eingebürgert hat. (die Physiker halt)
05.10.2005, 09:43	Cyrania	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.emath.de/pmwiki/pmwiki.php?pagename=Mathe-Lexikon.Zeichen-Symbole Das große Delta steht immer für Differenz, das kleine für Differential. In der Physik werden dafür auch fast nur die griechischen Buchstaben benutzt. Der Mathematiker ist, wie so oft, etwas bequemer (er lässt gern Pluszeichen und Malzeichen oder die 1 aus) und benutzt das d. So ist es mir zumindest vor fast 30 Jahren erzählt worden...
05.10.2005, 13:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
lol Dann frage ich mich nur, warum ich noch nie $\begin{eqnarray} \delta U=\delta Q+\delta W \end{eqnarray}$ , sondern immer nur $\begin{eqnarray} \mathrm dU=\delta Q+\delta W \end{eqnarray}$ gesehen hab. Die Physiker sind schon sehr eigenartig. Gruß MSS
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05.10.2005, 13:09	Cyrania	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, durch die Einführung von Größen leiten sie auch partiell ab - siehe Link - und dann ist es übersichtlicher.
05.10.2005, 13:45	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Für partielle Ableitungen wird doch auch in der Physik $\begin{eqnarray} \partial \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ verwendet. Das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \dd U = \delta Q + \delta W \end{eqnarray}$ muss eine andere Bedeutung haben...
05.10.2005, 16:24	Cyrania	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bleiben nur noch die Funktionalableitungen....
05.10.2005, 18:12	Kricki	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bedeutung ist folgende: $\begin{eqnarray} dU \end{eqnarray}$ ist ein totales Differential, während die anderen beide Größen keine sind. Alle drei sind zwar Differentialformen (infinitesimale Größen), aber nicht alles wo ein "d" dransteht ist auch totales Differential. Physikalischer Grund: U (innere Energie) ist eine sog. Zustandsgröße. Für solche Größen kann man zeigen, dass das inifinitesimale dU ein totales Differential ist. W und Q sind allerdings keine Zustandsgrößen. Zur Unterscheidung schreibt man halt die Deltas.
07.10.2005, 02:55	Lefko	Auf diesen Beitrag antworten »
puh, endlich ein paar Antworten! Mir fällt gerade zum ersten Mal auf, dass es einen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} \partial \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ gibt! Ich dachte immer, das stilisierte d sei ein kleines Delta... Also verwendet man $\begin{eqnarray} \frac{\partial y} {\partial x} \end{eqnarray}$ bei partiellen Ableitungen und $\begin{eqnarray} \frac{dy} {dx} \end{eqnarray}$ bei normalen? Äh, Moment. Ich hab hier eine Formelsammlung für die Klausur, in der die Formel $\begin{eqnarray} dU = \delta Q + \delta W \end{eqnarray}$ schon wieder anders steht: $\begin{eqnarray} dU = dQ + dW \end{eqnarray}$ Oh man ich werd noch ganz kirre! Ist es jetzt egal, ob man $\begin{eqnarray} \delta Q \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} dQ \end{eqnarray}$ verwendet? Beides sind also infinitesimal kleine Differenzen, einmal "mathematisch" und ein mal "physikalisch" ? Was ist das dann konkret? Was ist dU? $\begin{eqnarray} \Delta U \end{eqnarray}$ ist klar, die Änderung der Inneren Energie U, aber was ist dU konkret? Ich brauch echt Nachhilfe in sowas... Und was hat es jetzt mit dU als Totales Differential auf sich? Ich habe mit dem TD immer nur den maximalen Fehler einer Gleichung ausgerechnet, was hat es in diesem Fall für eine Bedeutung? Vielen Dank für eure ausführlichen Antworten (MSS z.B.) und auch nochmal im Vorraus! Lefko
07.10.2005, 08:33	Cyrania	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.econ.euv-frankfurt-o.de/ws0405/Mathe/Vorlesung/differentialrechn.pdf Da ist der Unterschied recht gut erklärt. Wegen des Kronecker-Symbols werde ich heute nochmal unseren Physikstudenten zu Hause befragen.
07.10.2005, 14:23	Kricki	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, es ist alles viel einfacher: Die Gleichung aus der Thermodynamik lautet: $\begin{eqnarray} dU = dW + dQ \end{eqnarray}$ . Da die letzten beiden Größen keine Zustandsgrößen und damit keine totalen Differentiale sind schreibt man zur Unterscheidung $\begin{eqnarray} dU = \delta W + \delta Q \end{eqnarray}$ , damit man diesen Umstand nicht vergisst (ist wichtig für Berechnungen). (Man kann aber mit Hilfe von "integrierenden Faktoren" W und Q als totale Differentiale schreiben, das ist hier aber unwichtig.) Mit dem Kronecker Delta hat das hier gar nix zu tun. Dies ist einfach nur eine Schreibweise für die Einheitsmatrix, also $\begin{eqnarray} \delta_{ij}=1 \textnormal{ für } i=j, 0 \textnormal{ sonst } \end{eqnarray}$ Grundsätzlich: Sobald irgendwo ein d dransteht und es sich tatsächlich um ein totales Differential handelt, gilt: $\begin{eqnarray} df(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy \end{eqnarray}$ Dadrin sind die $\begin{eqnarray} \partial \end{eqnarray}$ die partiellen Ableitungen. Hierbei leitet man nach der entsprechenden Variablen ab, und betrachtet die anderen als konstant. Bei der totalen Differentiation berüksichtigt man die Änderung aller Variablen. Dies ist vielleicht etwas ungewohnt. Für Funktionen die nur von einer Variablen abhängen ist die totale und die partielle Ableitung gleich.

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