Integralrechnung: Substitution -

03.10.2005, 16:22	Kaktus	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung: Substitution - Hallo, Freunde der Integralrechnung. Ich habe ein kleines Verständnisproblem bei der Substitution. Das Rechenverfahren habe ich verstanden (denke ich), mir ist nur noch nicht so ganz klar, wann man die Substitution einsetzen kann. Die Substitionsregel $\begin{eqnarray} \int{F'(g(x))g'(x)~dx}=F(g(x)) \end{eqnarray}$ verstehe ich so, dass man das ganze nur anwenden darf, wenn vor (oder dahinter) die Ableitung der "inneren Funktion" steht. Die Substitution funktioniert jedoch auch bei Beispielen, wo dies nicht der Fall ist. Beispiel: $\begin{eqnarray} \int~x(\sqrt{x+1})^3~dx \end{eqnarray}$ (Substitution mit $\begin{eqnarray} u=\sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ , Ableitung davon ist sicher nicht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , trotzdem kommt am Ende das richtige Ergebnis raus.)
03.10.2005, 16:27	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
weißt du wirklich, was substitution ist? das ist keine fertige formel, wie die erste aber du kannst die erste formel dadurch herleiten, indem du u=g(x) substituierst
03.10.2005, 17:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@LOED Doch, Substitution ist eine fertige Formel. Alle Substitutionen müssen ja auch begründet sein. Es gibt Voraussetzungen, die dabei erfüllt sein müssen. Bei den Schulaufgaben sind diese meist erfüllt. Die Voraussetzungen sind: i) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sei auf einem Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ definiert. ii) $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sei auf $\begin{eqnarray} I_0 \end{eqnarray}$ definiert und differenzierbar mit $\begin{eqnarray} g'(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathrm D_g=I_0 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt zunächst, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ streng monoton ist! iii) $\begin{eqnarray} g(I_0)=I \end{eqnarray}$ . Die Formel lautet dann $\begin{eqnarray} \int~f(g(u))g'(u)~\mathrm du=\int~f(x)~\mathrm dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u=g^{-1}(x) \end{eqnarray}$ , falls eine der beiden Seiten existiert. Man kann die Formel von beiden Seiten anwenden. Hier wird folgendes gemacht: Wir haben $\begin{eqnarray} \int~f(x)~\mathrm dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=x\left(\sqrt{x+1}\right)^3 \end{eqnarray}$ und setzen $\begin{eqnarray} x=g(u)=u^2-1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} u>0 \end{eqnarray}$ !!!! Wir können das nicht für $\begin{eqnarray} u=0 \end{eqnarray}$ machen, da $\begin{eqnarray} g'(0)=0 \end{eqnarray}$ ist, was eine Voraussetzung verletzt. Das ist aber nicht so schlimm. Dann ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ streng monoton steigend und $\begin{eqnarray} u=g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\qquad x>-1 \end{eqnarray}$ . Und jetzt kann man das in die Formel oben einsetzen, man lese sie aber dabei von rechts nach links. Als Endergebnis erhalten wir $\begin{eqnarray} \int~x\left(\sqrt{x+1}\right)^3~\mathrm dx=\frac{2}{7}\left(\sqrt{x+1}\right)^7-\frac{2}{5}\left(\sqrt{x+1}\right)^5+C=F_C(x) \end{eqnarray}$ , allerdings nur für $\begin{eqnarray} x>-1 \end{eqnarray}$ , da wir den Fall $\begin{eqnarray} x=-1\Leftrightarrow u=0 \end{eqnarray}$ ausschließen mussten. Im Nachhinein sehen wir aber durch Ableiten, dass diese Gleichung auch für $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ gilt. Gruß MSS

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