Wiederholung Lina

03.10.2005, 20:39	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wiederholung Lina So da ich im WS Lina II machen werd wiederhol ich grad Paar Sachen. Wollt nur mal das ihr da n Blick drauf werft Sei K ein Körper mit $\begin{eqnarray} 1 + 1 \neq 0 \end{eqnarray}$ Zeigen sie das jede Matrix $\begin{eqnarray} K^{n,n} \end{eqnarray}$ als Summe einer Symmetrischen und Schiefsymmetrischen Matrix geschrieben werden kann. Gilt dies auch für 1 + 1 = 0 ? So der erste Teil ich schreibe die symmetrische Matrix so $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & ... \\ ... \\ a_{1n} & ... & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Schiefsymmetrische so $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & ... & a_{1n} \\ -a_{12} & 0 & ... \\ ... \\ -a_{1n} & ... & ... & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} A^T = A , B^T = -B \\| A,B \in K^{n,n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A + B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} + b_{12} & ... & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{12} - b_{12} & a_{22} & ... \\ ... \\ a_{1n} - b_{1n} & ... & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} a_{ii} \in K \end{eqnarray}$ können jedes Element aus K darstellen. Zu zeigen wäre das die GLS'e $\begin{eqnarray} a_{ij} + b_{ij} = y \in K \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{ij} - b_{ij} = z \in K \end{eqnarray}$ für jedes y,z aus K eindeutig lösbar sind. Wir fragen also ob $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} , x = \begin{pmatrix} a_{ij} \\ b_{ij}, \end{pmatrix} , b = \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit Ax = b eindeutig lösbar ist. Ich würde jetzt einfach sagen, Det(A) = -2 => Ax = b eind. lösbar für jedes b. Die Problematik ist da eher das dass doch nur auf reellen Zahlen definiert war oder? Nun ja wenn dem so wäre könnten wir jede Matrix aus $\begin{eqnarray} K^{n,n} \end{eqnarray}$ entsprechend darstellen. Zur Umkehrung Wähle K = $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ und man versuche die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} K^{2,2} \end{eqnarray}$ mittels den Matrizen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -d \\ d & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ darzustellen und führe es auf einen Widerspruch zurück. Naja das war auch nicht wirklich schwer. Viel wichtiger ist die Frage oben.

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