Stetigkeit

04.10.2005, 13:27

Markusa

Stetigkeit

Hallo,

folgende Aufgabe:

f(x,y)= $\begin{eqnarray*} \frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ falls (x,y) ungleich (0,0),
f(x,y)= 1 sonst

Man,prüfe, ob f in (0,0) stetig ist.

Wie geht man hier vor?

Verstehe es so: Der $\begin{eqnarray*} \lim_{x,y\to 0} f(x,y) \end{eqnarray*}$ soll gegen 1 gehen, wenn das gezeigt ist ist es stetig oder?

Aber wie geht man vor? Schreibt man da einfach hin:

Der Limes ist ungleich 1 da x^2+y^2 bei x,y gegen 0,0 viel kleiner als x*y ist?

04.10.2005, 13:53

Mazze

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Naja, das hatte ich Dir doch schonmal gesagt. Fuer alle Folgen x,y muss der Limes gegen (0,0) gleich 1 sein.Deshalb reicht es nicht den GW x,y -> 0 allein zu betrachten.Wenn dann schon alle moeglichen was die Sache etwas erschwert. Waehle als moegliche Folge x = y und sieh selbst was passiert smile

. Unstetigkeit zeigt man oft durch angeben einer Folge fuer die die Stetigkeit nicht erfuellt ist, Stetigkeit zeigt man mit epsilon-delta oder aber ueber eine etwas schwierigere Aussage ueber alle Folgen.

Def stetigkeit:

Eine Abbildung f ist genau dann stetig bei $\begin{eqnarray*} x_{\infty} \end{eqnarray*}$ , wenn für jede gegen $\begin{eqnarray*} x_{\infty} \end{eqnarray*}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die Folge der Bilder $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_{\infty}) \end{eqnarray*}$ konvergiert. Das heisst aber auch, wenn wir eine Folge finden fuer die es nicht gilt gilt es garnicht Augenzwinkern

04.10.2005, 15:57

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mazze
Waehle als moegliche Folge x = y und sieh selbst was passiert smile

Abgesehen von den etlichen Rechtschreib- und Grammatikfehlern in deinem Text ( Augenzwinkern

) ist dies hier auch mathematisch falsch, was ich dir in dem anderen Thread auch schon sagte! $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ ist keine Folge. Ich weiß zwar, was du meinst, du drückst es aber vollkommen falsch aus. unglücklich

Gruß MSS

04.10.2005, 17:37

Mazze

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So hats unser Ana/Geo prof gesagt so hab ichs mir angewöhnt.

04.10.2005, 21:24

Mathespezialschüler

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Eine Folge aus einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} a:\mathbb N\to M \end{eqnarray*}$ !! Sorry, aber $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ ist eine Gleichung und hat nun wirklich rein gar nichts mit einer Folge zu tun. Und dass ein Prof das so sagt, kann ich mir, ehrlich gesagt, nicht ganz vorstellen. Wenn es so ist, dann wäre das allerdings sehr unschön, um es mal vorsichtig auszudrücken.

Gruß MSS

05.10.2005, 11:32

yeti777

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@MSS. Voll einverstanden!
@Markusa:
Bestimme doch einfach einmal die Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für die Folgen $\begin{eqnarray*} x_n=y_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n=-y_n \end{eqnarray*}$ .

Gruss yeti

05.10.2005, 12:47

Mathespezialschüler

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@yeti
Das sind aber auch noch keine eindeutigen Folgen. Du hast nur gesagt, dass man zwei gleiche Folgen bzw. zwei Folgen, bei denen die eine Folge das Negative der anderen sein soll, betrachten soll. Aber du hast die Folgen nicht konkretisiert. Was machst du, wenn ich die Folgen

$\begin{eqnarray*} x_n=y_n=n \end{eqnarray*}$

bzw. beim zweiten Fall

$\begin{eqnarray*} x_n=n, y_n=-n \end{eqnarray*}$

nehme. Das hast du nicht ausgeschlossen, aber in deinem Sinne war das sicher nicht. Und beim Widerlegen der Stetigkeit sollte man schon zwei explizite Folgen angeben. Augenzwinkern

Gruß MSS

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