Äquivalenzrelationen

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Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen
Also hier ist ein "falscher Beweis" angegeben und man soll rausfinden wo der Fehler liegt.

"Wenn eine Relation symmetrisch und transitiv ist, ist sie auch reflexiv, also eine Äquivalenzrelation."

Sei ~ eine symmetrische und transitive Relation auf einer Menge X. Sei x aus X beliebig, und sei x~y. Wegen der Symmetrie dann auch y~x und aufgrund der Transitiviät folgt dann auch x~x. Also ist ~ reflexiv.


So schieft geht das ganze natürlich bei "... und aufgrund der Transitivität". Aber so ganz klar ist mir das nicht, da die Definition von transitiv in meinem Buch folgendermaßen lautet:

Die Relation ~ heißt transitiv , falls gilt:

für alle x,y,z aus X

Müsste man nicht noch extra fordern, dass x,y und z paarweise verschieden sein sollen?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis ist völlig richtig wenn X eine nichtleere Menge ist.
Was passiert jetzt aber wenn X leer ist? Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist wohl nicht, daß leer ist, sondern daß es Elemente in geben kann, die mit keinem anderen, auch nicht mit sich selbst in Relation stehen.

Dieselbe Aufgabe wurde hier schon einmal behandelt. Vielleicht hilft die Boardsuche.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, stimmt.
Eine Relation R ist nur dann reflexiv wenn

Was ist aber mit ?
Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind doch erfüllt.
Trotzdem gibt es keine Äquivalenzrel. weil in einer Äquivalenzklasse mindestens ein Element liegen müsste.
Oder wie, oder was verwirrt
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Definition auf Wikipedia ist nicht gefordert, dass eine Relation nichtleer sein muss. Vielleicht ist das bei manchen Profs anders.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Das beantwortet aber nicht meine Frage, ich gehe ja davon aus das eine Relation leer sein kann.
 
 
Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Das Problem ist wohl nicht, daß leer ist, sondern daß es Elemente in geben kann, die mit keinem anderen, auch nicht mit sich selbst in Relation stehen.

Dieselbe Aufgabe wurde hier schon einmal behandelt. Vielleicht hilft die Boardsuche.


OK. Das wird es wohl sein, der Fehler liegt dann also darin, dass in dem Beweis nur gezeigt wurde, dass die Elemente die mit einem y in Relation stehen auch mit sich selbst in Relation stehen.

Zur Boardsuche. Was soll ich denn bei sowas in das Suchformular eintippen?? Außerdem kann ich ja nicht wissen, dass es das schonmal gab.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Das beantwortet aber nicht meine Frage, ich gehe ja davon aus das eine Relation leer sein kann.


Wenn du davon ausgehst, verstehe ich dein Problem nicht. Die Frage hast du dir selbst beantwortet. Die Relation auf einer leeren Menge ist eine Äquivalenzrelation.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bier17
Zur Boardsuche. Was soll ich denn bei sowas in das Suchformular eintippen??

Wie wäre es mit "Äquivalenzrelation"? Damit habe ich auf Anhieb den alten Thread wiedergefunden.

Zitat:
Original von Bier17
Außerdem kann ich ja nicht wissen, dass es das schonmal gab.

*loool*
Sorry, aber das ist mir vollkommen unverständlich. böse
Wenn man ein neues Thema aufmacht, dann steht da fett oben drüber:
"Bitte benutze vor dem Erstellen neuer Themen die Boardsuche."
Was denkst du, warum das da steht?? Anscheinend kannst du es dir ja nicht denken, deswegen geb ich dir mal die Antwort:
Damit man nach dem Thema, über das man eine Frage hat, suchen kann, falls es das schonmal gab. Klar weißt du nicht, ob es das Thema schonmal gab, aber deswegen steht der grad zitierte Satz ja oben drüber: Damit du es herausfindest.

Gruß MSS
Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mathespezialschüler

Danke, jetzt blick ich wenigstens für was es die Boardsuche gibt.

Aber mal ganz im Ernst bei diesem Thema hätte man mit etwas Phantasie auch Überschriften wie

-Relationen
-falscher Beweis/Realtion
-Hilfe ich schreib morgen ne Klausur!!!
-reflexivität, was ist das ??


finden können. Das alles zu checken wär dann doch etwas mühselig.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bier17
@ Mathespezialschüler

Danke, jetzt blick ich wenigstens für was es die Boardsuche gibt.

Wenn du meinst, du müsstest so naiv sein, dann solltest du nicht meckern, wenn man dich auch so behandelt und dir nicht Unmengen an Honig um den Mund schmiert!
Und was deinen dritten Punkt angeht: Solche Titel gibt es sogut wie nicht, da sie von uns geändert werden, wenn sie so auftreten, eben weil man die Threads sonst nicht findet.
Und dann noch etwas: Selbst wenn es mühselig gewesen wäre, kannst du vll trotzdem mal 10 oder 15 Minuten lang suchen. Dann hättest du den Thread sicherlich gefunden, und zwar bestimmt schon nach spätestens drei Minuten, da er wahrscheinlich immer sehr weit vorne aufgeführt gewesen wäre. Aber einfach gar nicht zu suchen, finde ich persönlich einfach nur unverschämt und nichts anderes!

Gruß MSS
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn du davon ausgehst, verstehe ich dein Problem nicht. Die Frage hast du dir selbst beantwortet. Die Relation auf einer leeren Menge ist eine Äquivalenzrelation.


Du hast nicht richtig gelesen..
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Was ist aber mit ?
Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind doch erfüllt.
Trotzdem gibt es keine Äquivalenzrel. weil in einer Äquivalenzklasse mindestens ein Element liegen müsste.
Oder wie, oder was verwirrt

Das ist einfach nur eine Definitionssache. Ich sehe da drei Möglichkeiten.

1. Wenn du sagst: "Eine Relation auf einer Menge heißt
a) reflexiv, wenn ...
b) symmetrisch, wenn ...
c) transitiv, wenn ... .
Und eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die alles erfüllt.",
Dann ist die Relation auf der leeren Menge weder reflexiv noch nicht reflexiv, weder symmetrisch noch nicht symmetrisch und weder transitiv noch nicht transitiv. Also ist es auch keine Äquivalenzrelation.

2. Wenn du sagst: "Eine Relation auf einer Menge heißt
a) reflexiv, wenn ...
b) symmetrisch, wenn ...
c) transitiv, wenn ... .
Und eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die alles erfüllt.",
Dann ist die Relation auf der leeren Menge zwar reflexiv, symmetrisch und transitiv, aber keine Äquivalenzrelation, weil dafür sein müsste.

3. Wenn du sagst: "Eine Relation auf einer Menge heißt
a) reflexiv, wenn ...
b) symmetrisch, wenn ...
c) transitiv, wenn ... .
Und eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die alles erfüllt.",
Dann ist die Relation auf der leeren Menge reflexiv, symmetrisch und transitiv und diesmal ist es auch eine Äquivalenzrelation.

Also alles Definitionssache ...

Gruß MSS
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nenn mir mal eine Äquivalenzklasse zum Fall 3.
Das ist das Problem worauf ich hinaus will.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Äquivalenzklassen ist doch dann genauso wieder Definition. Im dritten Fall gibt es halt nach Definition keine, die muss es aber auch nicht geben, zumindest nicht im diesem Fall.

Gruß MSS
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habs verstanden.
Mein Problem war das wenn es eine Äquivalenzklasse gibt mindestens ein Element in dieser liegen muss (Äquiv.rel. induziert Partition).
Da es aber keine Äquivalenzklassen gibt hat sich das erledigt und wird zur Definitionssache.
Thx
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