Mantelfläche Rotationskörper

04.10.2005, 20:38

derWoodi

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Mantelfläche Rotationskörper

Guten Abend habe eine Rechenaufgaben die ich zur Vorberitung für meine Matheklausur brauche.

Kann mir dabei jemand helfen. Ich komme mit der Aufleitung nicht so richtig klar.

Also ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x^2} \end{eqnarray*}$

Von dieser Funktion soll ich die Mantelfläche berechnen

Die Formel dafür ist

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_{b}^{a}~f(x) \sqrt{1+(1.Ableitung f(x))^2} ~dx \end{eqnarray*}$

Muß ich die Funktion erst Ableiten und dann wieder Aufleiten?

Ich finde einfach die Lösung nicht.

Kann mir jemand helfen? Ist drigend!

gruß und schönen Abend noch

derWoodi

Nachtrag:

Wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x^2} \end{eqnarray*}$ umstelle bekomme ich $\begin{eqnarray*} f(x)=(3+3x^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$

Kann ich das dann mit u´v + v´u ableiten?
Wenn ja was passiert mit dem 1/2?

04.10.2005, 21:33

Mathespezialschüler

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Verschoben

Zunächst heißt das nicht "aufleiten", sondern integrieren!! Ja, du leitest zunächst ab, aber danach integrierst du nicht einfach die Ableitung wieder, da würde ja wieder $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ rauskommen, sondern du setzt in die Formel ein und dann musst du $\begin{eqnarray*} f(x)\cdot \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \end{eqnarray*}$ integrieren.
Erstmal zum Ableiten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3+3x^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

kannst du nicht so ableiten, wie du es da hingeschrieben hast: Das wäre ja die Produktregel, aber wo siehst du denn hier ein Produkt? Du musst es mit Kettenregel machen! Wenn wir das haben, dann können wir ja immernoch auf das Integral gucken.
Übrigens noch was: Du sollst nicht die Mantelfläche einer Funktion berechnen, sondern die Mantelfläche des Rotationskörpers, der entsteht, wenn du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ um die x-Achse rotieren lässt. Bleibt natürlich noch folgende Frage: In welchem Intervall soll das ganze denn passieren??

Gruß MSS

04.10.2005, 21:37

derWoodi

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Ooops Entschuldigung also es soll im Bereich von $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{8} \leq x\leq \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$ integriert werden.

04.10.2005, 21:41

Mathespezialschüler

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Ok. Und was ist nun mit der Ableitung? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

04.10.2005, 21:45

derWoodi

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Also die innerer Fkt ist 3+3x die Ableitung ist 3
und jetzt kommt es die äußere Fkt ist ^1/2 ist die Ableitung dann 1/2* ?

Ich habe voll das Brett vor dem Kopf

04.10.2005, 21:49

Mathespezialschüler

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Oben steht aber $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x^2} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x} \end{eqnarray*}$ !!
Sei

$\begin{eqnarray*} h(x)=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x)=3+3x^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3+3x^2)^{\frac{1}{2}}=h(g(x)) \end{eqnarray*}$ .

Und was ist davon nun die Ableitung?

Gruß MSS

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04.10.2005, 21:57

derWoodi

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Ok ich versuche es noch mal g(x) abgeleitet ist 6x richtig?

Nur was ist x ^1/2 abgeleitet? Ist das 1/2x? Das ist warscheinlich jedem klar nur mir nicht.

04.10.2005, 22:05

Mathespezialschüler

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Wie leiten wir denn Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} u(x)=x^n \end{eqnarray*}$

ab? Da gibt es doch so eine tolle Regel, die für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

04.10.2005, 22:07

derWoodi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wie leiten wir denn Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} u(x)=x^n \end{eqnarray*}$

ab? Da gibt es doch so eine tolle Regel, die für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

Meinst du diese $\begin{eqnarray*} n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Also würde dann da stehen für h´(x) = 1/2x^-1/2 oder?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

04.10.2005, 22:14

Mathespezialschüler

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Ja, genau. Wenn du noch ein $\begin{eqnarray*} u'(x) \end{eqnarray*}$ davor geschrieben hättest, dann wäre das auch noch viel schöner gewesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schaffst du es jetzt, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zu berechnen?

Gruß MSS

04.10.2005, 22:21

derWoodi

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y´= $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das denn noch vereinfachen oder ist das erst mal richtig?

04.10.2005, 22:29

Mathespezialschüler

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Du meinst

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dh}{\mathrm dg}\cdot \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}=\frac{1}{2}g^{-\frac{1}{2}}\cdot 6x \end{eqnarray*}$ ,

nicht wahr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist richtig, ja. Du musst aber noch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einsetzen!

Gruß MSS

04.10.2005, 22:35

derWoodi

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So dann oder?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dh}{\mathrm dg}\cdot \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}=\frac{1}{2}(3+3x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 6x \end{eqnarray*}$ ,

Nur was mache ich jetzt mit den $\begin{eqnarray*} ^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Da bin ich wieder ein bisschen Ratlos

04.10.2005, 22:39

Mathespezialschüler

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Sag mal, was ist denn jetzt richtig:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x^2} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x} \end{eqnarray*}$ ??

Zu $\begin{eqnarray*} g^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ : Es gilt

$\begin{eqnarray*} g^{-\frac{1}{2}}=\left(g^{\frac{1}{2}}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt Definition von $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ und danach die von $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Gruß MSS

04.10.2005, 22:43

derWoodi

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Ich verstehe nicht was du meinst :-(

Ich weiß ich bin ein schwieriger Kunde

04.10.2005, 22:46

Mathespezialschüler

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Ich frage mich einfach nur, wie die Funktion heißt. Oben hast du immer

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x^2} \end{eqnarray*}$

geschrieben. Später hast du mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x} \end{eqnarray*}$

gerechnet. Also, welche Funktion steht denn nun in der Aufgabe?

Gruß MSS

04.10.2005, 22:50

derWoodi

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die mit ^2 Sorry!

04.10.2005, 22:53

Mathespezialschüler

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Ok, wie ist denn $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ definitiert für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ??

Gruß MSS

04.10.2005, 22:53

derWoodi

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dh}{\mathrm dg}\cdot \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}=\frac{1}{2}(3+3x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 6x \end{eqnarray*}$ ,

Also das habe ich da jetzt stehen. Kann ich das noch vereinfachen?

Edit:

Was ist denn mit a^-1 gemeint? In der Aufgabe steht nur Rotation um die x-Achse man Berechne den Flächeninhalt.

04.10.2005, 22:55

Mathespezialschüler

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Wie gesagt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}\left(3+3x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 6x=\frac{1}{2}\left(\left(3+3x^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\cdot 6x \end{eqnarray*}$ .

Jetzt umschreiben, wie ich es gesagt habe.

Gruß MSS

05.10.2005, 09:07

derWoodi

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Kurze Zusammenfassung
Guten Morgen,

also hier mal eine kurze Zusammenfassung wie man auf die Ableitung kommt.

Also ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x^2} \end{eqnarray*}$

Die Formel für die Mantelfläche lautet:

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_{b}^{a}~f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3+3x^2} \end{eqnarray*}$ ) kann man umstellen nach $\begin{eqnarray*} f(x)=(3+3x^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Dann wendet man die Kettenregel an

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3+3x^2)^{\frac{1}{2}}=h(g(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x) = x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) =3+3x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = 6x \end{eqnarray*}$

Nach Anwendung der Kettenregel steht dann da:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dh}{\mathrm dg}\cdot \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}=\frac{1}{2}(3+3x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 6x \end{eqnarray*}$

Durch erneutes Umstellen mit der Regel $\begin{eqnarray*} g^{-\frac{1}{2}} = (g^{\frac{1}{2}})^{-1} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} a^{-1} = \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

bekommt man dann

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}((3+3x^2)^{\frac{1}{2}})^{-1}\cdot 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=((3+3x^2)^{\frac{1}{2}})^{-1}\cdot 3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{(3+3x^2)^{\frac{1}{2}}}\cdot 3x \end{eqnarray*}$

dann zieht man das 3x noch nach auf den Bruchstrich und dann hat man

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3x}{(3+3x^2)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

da stehen.

Die 1. Ableitung von f(x)

Aber nun geht es weiter mit dem Einsetzten in die Formel......

Wenn ich das nun in die Formel einsetze kommt sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_{\frac{3}{8} }^{-\frac{3}{8}}~\sqrt{3+3x^2} \sqrt{1+\left(\frac{3x}{(3+3x^2)^{\frac{1}{2}}}\right)^2} ~dx \end{eqnarray*}$

Soweit ich weiß hebt sich Wurzel mal Wurzel weg oder?

Also würde dann da nohc stehen:

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_{\frac{3}{8} }^{-\frac{3}{8}}~ {3+3x^2} \cdot {1+\left(\frac{3x}{(3+3x^2)^{\frac{1}{2}}}\right)^2} ~dx \end{eqnarray*}$

Nur was mache ich jetzt?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! Desweiteren Latex-Code verbessert, Exponenten müssen in geschweifte Klammern. (MSS)

05.10.2005, 12:31

Mathespezialschüler

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Hallo.
Die erste Ableitung ist jetzt erstmal richtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von derWoodi
Soweit ich weiß hebt sich Wurzel mal Wurzel weg oder?

Ja, $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\neq ab \end{eqnarray*}$ !!!!!! Das hast du leider gemacht. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab} \end{eqnarray*}$

Lass die Wurzel lieber erstmal stehen! Und schreib doch mal das Quadrat aus. Wir hatten doch gestern schon besprochen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{(3+3x^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{3x}{\sqrt{3+3x^2}} \end{eqnarray*}$

gilt. Und jetzt quadriere das mal.
Und dann natürlich auch noch die Grenzen an die richtigen Stellen setzen, im Moment sind sie falschrum. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

05.10.2005, 12:41

derWoodi

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Also wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe das kommt dann sowas raus

M= $\begin{eqnarray*} 2\pi \cdot \int_{-{\frac{3}{8}}}^{{\frac{3}{8}} }~\sqrt{3+3x^2+ \frac{9x^2}{3+3x^2}} ~dx \end{eqnarray*}$

05.10.2005, 12:54

Mathespezialschüler

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Punktrechnnung geht vor Strichrechnung!!! Also Klammern setzen und diese Regel beachten.

$\begin{eqnarray*} 2\pi\int_{-\frac{3}{8}}^{\frac{3}{8}}~\sqrt{3+3x^2}\sqrt{1+\left(\frac{3x}{(3+3x^2)^{\frac{1}{2}}}\right)^2}~\mathrm dx=2\pi\int_{-\frac{3}{8}}^{\frac{3}{8}}~\sqrt{(3+3x^2)\left(1+\frac{9x^2}{3+3x^2}\right)}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Und jetzt bitte nochmal versuchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

05.10.2005, 13:25

derWoodi

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Also Punktrechnung geht vor Strichrechnung

$\begin{eqnarray*} 2\pi\int_{-\frac{3}{8}}^{\frac{3}{8}}~\sqrt{(3+3x^2)\left(1+\frac{9x^2}{3+3x^2}\right)}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3+3x^2)\cdot \left(1+\frac{9x^2}{3+3x^2}\right)=(3+3x^2)\cdot 1+(3+3x^2)\cdot \frac{9x^2}{3+3x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3+3x^2)\cdot \left(1+\frac{9x^2}{3+3x^2}\right)=(3+3x^2)\cdot 1+9x^2\cdot \frac{3+3x^2}{3+3x^2} \end{eqnarray*}$

Nach dem Multiplizieren kommt dann folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 2\pi\int_{-\frac{3}{8}}^{\frac{3}{8}}~\sqrt{(3+12x^2)}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

05.10.2005, 14:01

Mathespezialschüler

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Ok, das Ergebnis wird erstmal umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} 2\pi\int_{-\frac{3}{8}}^{\frac{3}{8}}~\sqrt{3+12x^2}~\mathrm dx=2\pi\int_{-\frac{3}{8}}^{\frac{3}{8}}~\sqrt{3(1+4x^2)}~\mathrm dx=2\sqrt{3}\cdot \pi\int_{-\frac{3}{8}}^{\frac{3}{8}}~\sqrt{1+(2x)^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Jetzt substituiere mal $\begin{eqnarray*} t=2x \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Frage, ob du das Integral

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1+t^2}~\mathrm dt \end{eqnarray*}$

schon kennst??

Gruß MSS

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