Kontrolle+Hilfe bei Partialbruchzerlegung

05.10.2005, 11:35

Basti79

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Kontrolle+Hilfe bei Partialbruchzerlegung

Hallo,
da sich bei mir der Lernstress nun verhärtet ( morgen ist Prüfungstag und meine Tochter ist in den letzten Tagen sehr sehr LAUT ) wäre es sehr nett, wenn Ihr mal über die folgenden Aufgaben schauen könntet.
Bei a) und b) bin ich mir ziemlich sicher, den richtigen Ansatz gewählt und richtig gerechnet zu haben, ich stecke lediglich beim Endergebnis fest. Bei c) hingegen kann ich den richtigen Ansatz nicht finden.
a)
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\frac{7x+4}{(x+1)^{2}(2x+1)}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

A=2 ; B=-1 ; C=3

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2\int_{\infty}^{0}~\frac{1}{2x+1}~dx -\int_{\infty}^{0}~\frac{1}{x+1}~dx +3\int_{\infty}^{0}~\frac{1}{(x+1)^{2}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2 \lim_{a \to \infty} \frac{1}{2}ln\mid 2x+1 \mid]_{0}^a - \lim_{a \to \infty} ln\mid x+1 \mid]_{0}^a +3\lim_{a \to \infty} \frac{-1}{x+1}]_{0}^a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ???

b)
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\frac{16-2x}{(2x+1)(x^{2}+4)} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{2x+1}+ \frac{B+Cx}{x^{2}+a} \end{eqnarray*}$

A=4 ; B=0 ; C=-2

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4\int_{0}^{\infty}~\frac{1}{2x+1}~dx -2\int_{0}^{\infty}~\frac{x}{x^{2}+4}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4\lim_{a \to \infty} \frac{1}{2}ln\mid 2x+1 \mid]_{0}^a -2\lim_{a \to \infty} \frac{1}{2}ln\mid x^{2}+4 \mid]_{0}^a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ???

c)
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\frac{5+2x-5x^{2}}{(3x^{2}+5x+2)(x^{2}+1)} ~dx \end{eqnarray*}$
Hier bei c) habe ich echt keine Idee für irgendeinen ordentlichen Ansatz.....

So, bin für jede Hilfe dankbar,
in ca einer Stunde kann ich dann auch eure Vorschläge nachrechnen, dann ist meine Tochter im Bett...*stille*
Gruß
Basti
PS: Wie lange dauert das denn, bis man sich an dieses Schreiben ala Latex gewöhnt hat, habe hier fast ne halbe Stunde gebraucht.....naja, denke Übung macht wohl wirklich den Meister! Freude

Freude

05.10.2005, 14:07

schrawenzel

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Hallo Basti!

Also bei der a) müsste doch der Nenner von C auch nur (x+1) sein, ohne das Quadrat, oder?

Und bei der c) hab ich jetzt erstmal ne Polynomdivision gemacht: (3x²+5x+2)/(x+1)=3x+2

Dann kannst also den Nenner schreiben in:

(x+1)(x²+1)(3x+2)

Ich hoff ich hab dir ein bisschen helfen können!

VlG

schrawenzel

05.10.2005, 14:46

Mathespezialschüler

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@schrawenzel
Nein, das ist schon richtig bei a)!!

@Basti
Deine Partialbruchzerlegung bei a) ist korrekt. Aber du darfst das Integral nicht so aufteilen!! Folgendes stimmt:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty}~\frac{7x+4}{(x+1)^2(2x+1)}~\mathrm dx=\int\limits_0^{\infty}~\left(2\cdot \frac{1}{2x+1}-\frac{1}{x+1}+3\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ ,

aber das hier stimmt nicht mehr:

$\begin{eqnarray*} \text{(1)}\quad \int\limits_0^{\infty}~\left(2\cdot \frac{1}{2x+1}-\frac{1}{x+1}+3\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\cdot \int\limits_0^{\infty}~\frac{1}{2x+1}~\mathrm dx-\int\limits_0^{\infty}~\frac{1}{x+1}~\mathrm dx+3\cdot \int\limits_0^{\infty}~\frac{1}{(x+1)^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

und zwar deswegen, weil die beiden Integrale

$\begin{eqnarray*} 2\int\limits_0^{\infty}~\frac{1}{2x+1}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty}~\frac{1}{x+1}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

nicht existieren! Deswegen musst du mit

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty}~\left(2\cdot \frac{1}{2x+1}-\frac{1}{x+1}+3\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

weiterrechnen. Und das ist es so richtig:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty}~\left(2\cdot \frac{1}{2x+1}-\frac{1}{x+1}+3\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{a\to\infty}\left(\Big[\ln|2x+1|\Big]_0^a-\Big[\ln|x+1|\Big]_0^a+3\cdot \left[\frac{-1}{x+1}\right]_0^a\right) \end{eqnarray*}$

Und das darfst du jetzt nicht wieder in drei Limites aufteilen, weil das genau der gleiche Fehler wäre, den ich oben bei $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ schon angesprochen habe. Deswegen musst du erst alles in der Klammer ausrechnen, zusammenfassen so weit es geht und kannst dann den Limes bilden.
Bei b) ist die PBZ wieder richtig, aber dann hast du den gleichen Fehler gemacht ...
Bei c) erstmal Nenner so faktorisieren, wie schrawenzel schon gezeigt hat!

Gruß MSS

05.10.2005, 14:56

Basti79

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Tausend Dank, werde gleich mal weiterrechnen!

05.10.2005, 15:53

Basti79

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So, nun komme ich auf folgendes:
a)
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} ln \mid \frac{2x+1}{x+1} \mid- \frac{3}{x+1} = ln2 \end{eqnarray*}$
b)
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} ln\mid \frac{4x+2}{x^{2}+4} \mid = 0 \end{eqnarray*}$
Könnte das so hinkommen?
Werde mich nun an c) begeben, melde mich dann später nochmal.
Gruß
Basti

05.10.2005, 16:20

Mathespezialschüler

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Erstmal überall $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schreiben! Dann darfst du nicht vergessen, überall auch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ einzusetzen! Es steht ja immer $\begin{eqnarray*} \Big[...\Big]_0^a \end{eqnarray*}$ da. Dadurch fehlt dir bei a) noch eine Konstante. Und b):

$\begin{eqnarray*} 2\ln|2a+1|=\ln\left((2a+1)^2\right) \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} 2\ln|2a+1|=\ln(2\cdot |2a+1|) \end{eqnarray*}$ !!!!

Dann bekommst du auch da das richtige Ergebnis.

Gruß MSS

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05.10.2005, 18:09

Basti79

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Oooops, Du hast Recht!
also für b):
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} ln\mid \frac{4+\frac{4}{a}+\frac{1}{a^{2}}}{1+\frac{4}{a^{2}}}\mid =4 \end{eqnarray*}$ !?!
bei c) bin ich mir mit dem Ansatz aber immernoch nicht sicher. Bin zwar beim Nachrechnen auf die gleichen Nullstellen gekommen, beim Ausrechnen von A,B,C und D komme ich aber auf keinen grünen Zweig. Wenn jemand nochmal kurz auf diesen Ansatz schauen könnte:
$\begin{eqnarray*} \frac{A+Bx}{x^{2}}+ \frac{C}{x+1}+ \frac{D}{3x+2} \end{eqnarray*}$
Das A+Bx ist doch aufgrund der doppelten Nullstelle richtig, oder?

05.10.2005, 18:39

Mathespezialschüler

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Und was ist mit a)? Bei b) Du solltest auf den Grenzwert aber schon noch den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ anwenden, dann wird es richtig. War wahrscheinlich nur ein Schreibfehler. Augenzwinkern

Augenzwinkern

c) Der Ansatz ist fast richtig. Oben stand aber $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ , die 1 darfst du nicht unterschlagen. Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{5+2x-5x^2}{(3x^2+5x+2)(x^2+1)}=\frac{5+2x-5x^2}{(3x+2)(x+1)(x^2+1)}=\frac{A+Bx}{x^2+1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{3x+2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.10.2005, 18:48

Basti79

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Oh, richtig, sowohl 4 anstelle von ln4 als auch $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} x^{2}+1 \end{eqnarray*}$ waren Schreibfehler. Dann versuche ich mal weiter, A,B,C und D herauszukriegen, danach kommt dann a) dran!

05.10.2005, 21:14

Basti79

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So, meine Tochter ist im Bett und ich kann endlich weitermachen......irgendwie krieg ich da aber sehr komische Werte raus(für Aufgabe c)):
$\begin{eqnarray*} A=\frac{5}{6}; B= \frac{17}{9}; C= \frac{41}{36}; D= -\frac{109}{12} \end{eqnarray*}$

Habs hin und her gerechnet, ich bekomme immer die gleichen Werte raus....denke es wird nun zu spät, hoffe mal morgen in der Prüfung einfache Aufgaben zu bekommen verwirrt

verwirrt

. Da mich diese Aufgabe mittlerweile aber aufregt ( oder ich mich besser gesagt darüber aufrege, daß ichs nicht hinkriege Hammer

Hammer

) bin ich weiterhin über jeden Hinweis froh, egal ob vor oder nach der Prüfung!
Bis denne
Basti

05.10.2005, 21:50

Mathespezialschüler

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Das stimmt wirklich nicht. Am Ende solltest du auf $\begin{eqnarray*} A=0,B=-2,C=1,D=3 \end{eqnarray*}$ kommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

06.10.2005, 19:02

Basti79

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Ah, na klar.....
Bei einem Ansatz hatte ich auch B= -2, durch Einsetzen dann A= 0. Habe den Ansatz aber sofort verworfen, da ich dachte, der Zähler dürfe nicht 0 sein, habe total vergessen, daß der Zähler A+Bx und nicht nur A ist!!!
Denke übrigens, die Klausur sollte bestanden sein, falls Interesse besteht kann ich die Aufgabenstellungen ja in den nächsten Tagen mal hier reinsetzen, ist eine sehr abwechslungsreiche Auswahl ( viele verschiedene Themengebiete Rock

Rock

). Würde mal gerne wissen, wie lange jamand der richtig gut in Mathe ist für eine solche Klausur braucht verwirrt

verwirrt

Gruß
Basti

06.10.2005, 20:47

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Basti79
Würde mal gerne wissen, wie lange jamand der richtig gut in Mathe ist für eine solche Klausur braucht verwirrt

verwirrt

Was war es denn? Ana1? Wenn es sehr gemischte Aufgaben waren, würd ich sie mir gern mal angucken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

06.10.2005, 21:13

Basti79

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Die Klausur wird einfach 'Mathe1' genannt. (Bei uns Chemikern gibt es nur 'Mathe1' und 'Mathematische Methoden für Chemiker')
Die Mischung ist echt ganz nett, morgen bin ich an der Uni, da werd ich dann mal vom Prof einen originalen Aufgabenzettel besorgen, danach poste ich dann mal einfach alle Aufgaben. ( Wo gehört das dann hin, ins Off-Topic-Forum? )
Gruß
Basti

06.10.2005, 21:19

Mathespezialschüler

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Achso, wenn das so ist. Für Chemiker sieht die Klausur ja dann wirklich noch etwas anders aus, da ist ja dann wirklich alles gemischt. Also Ana, LA usw.
Nein, nein nicht ins Off-Topic. Da du ja wahrscheinlich keine wirklichen Fragen dazu hast, kannst du es einfach hier in den Thread stellen. Wenn du noch explizite Fragen dazu hast, dann poste es doch einfach in das Forum, wo die Frage hingehört und wenn das jetzt Fragen zu verschiedenen Themen sind, dann vll einfach in "Sonstiges".
Übrigens solltest du fragen, ob die Klausur nicht vll online ist, sonst musst du ja soviel abtippen.

Gruß MSS

06.10.2005, 21:49

Basti79

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Ok, werde es dann hier posten.
Bin mir ziemlich sicher, daß die Klausur nicht online verfügbar ist, unser Prof hat nach eigenen Angaben das Internet noch nie genutzt, und daran zweifel ich ehrlich gesagt nicht !!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also dann bis morgen,
Gruß
Basti

07.10.2005, 14:31

Basti79

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So, habe gerade einen Klausurbogen erhalten und werde ihn nun abtippen. Zwei Stunden standen für die Bearbeitung der Klausur zur Verfügung.
1) Sei $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ die Ebene durch die drei Punkte $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} , B:=\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} und C:=\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ die Ebene $\begin{eqnarray*} ((x_{1},x_{2},x_{3}) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=-3) \end{eqnarray*}$ .
a)Berechne eine lineare Gleichung (keine Parameterdarstellung!) für die Ebene $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ .
b)Berechne eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der beiden Ebenen $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ .
c)Untersuche, ob der Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf der Schnittgeraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liegt.

2) Sei $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 2 & -3 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a)Berechne alle Eigenwerte der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .
b)Berechne nur zum größten Eigenwert alle Eigenvektoren.

3) Sei $\begin{eqnarray*} f(x) := 2ln(3x+1)-ln(2x^{3}+3)+ln(4x+5) \end{eqnarray*}$ .
Berechne folgende Grenzwerte, falls sie existieren:
a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$

4) Für welche $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{2^{n}+1}{16^{n}+1} x^{3n} \end{eqnarray*}$ konvergent und für welche $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ ist sie divergent?

5) Berechne $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~\frac{2x-1}{(x+1)(2x^{2}+1)}~dx \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Partialbruchzerlegung.

6) Berechne $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~(x^{5}+x^{2}) ln(x^{3}+1)~dx \end{eqnarray*}$
Tip: Ein geeigneter Anfang ist es, das Argument des Logarithmus zu substituieren.

7) Sei $\begin{eqnarray*} f(x):= \frac{1}{\sqrt[3]{5+x} } \end{eqnarray*}$ .
a)Entwickle $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in eine Taylorreihe mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_{0}=3 \end{eqnarray*}$ .
b)Entnimm der unter a) hergeleiteten Taylorreihe das 3. Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_{3} (x) \end{eqnarray*}$ mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_{0} = 3 \end{eqnarray*}$ .

8) Sei $\begin{eqnarray*} y= f(x):= e^ \frac{8x}{3} -e^ \frac{2x}{3} \end{eqnarray*}$ .
a)Wieviele Umkehrfunktionen $\begin{eqnarray*} x=g(y) \end{eqnarray*}$ besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? Bestimme für jede Umkehrfunktion ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich.
Hinweis: Es ist hilfreich, eine grobe Skizze von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anzufertigen.
b)Sei $\begin{eqnarray*} y_{0}:= e^{2}(e^{6}-1) \end{eqnarray*}$ . Berechne die Lösung von $\begin{eqnarray*} x_{0} = g(y_{0}) \end{eqnarray*}$ für eine der Umkehrfunktionen. Für wieviele Umkehrfunktionen wäre es möglich?
c)Wie lautet die Tangente an die in b) gewählte Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y_{0} \end{eqnarray*}$ ?

9) Sei $\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{pmatrix} e^{-2x} & fuer & 0<x<\pi \\ -e^{2x} & fuer & -\pi<x<0 \\ 0 & fuer & x=-\pi;x=0;x=\pi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
a) Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine gerade oder eine ungerade Funktion oder keines von beiden?
b)An welchen Punkten des Intervalls $\begin{eqnarray*} -\pi\leq x\leq \pi \end{eqnarray*}$ stimmen Fourierreihe $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ und Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ überein? Welchen Wert hat $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ an den verbliebenen Punkten des Intervalls?
c)Berechne die Fourierreihe $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

10)Wieviele Summanden benötigt man, um die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{2^{n}+1}{16^{n}+n} \end{eqnarray*}$ auf 4 Stellen hinter dem Komma zu berechnen? Begründe, warum die von dir gegebene Anzahl von Summanden ausreicht.
b)Führe die Berechnung durch.

So, das wars. Hat länger gedauert als ich dachte, nun habe aber auch ich endlich mal ein bißchen Übung mit der 'Latexschreibweise' Freude

Freude

Hoffe die Klausur ist interessant für dich,
Gruß
Basti

11.10.2005, 14:20

Basti79

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Und, wie kommt ihr mit der Zeitvorgabe zurecht?
Für mich ware zwei Stunden eindeutig zu knapp!!
Gruß
Basti

11.10.2005, 16:07

Mathespezialschüler

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Mit 1, 2 und 9 kenne ich mich noch nicht aus, aber der Rest ging bei mir so ca. in 45 Minuten.

Gruß MSS

11.10.2005, 19:55

system-agent

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@mss
was hast du bei der nummer 5 raus?
ich hab da $\begin{eqnarray*} ln\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als ergebnis, stimmt das?

wie machst du die nummer 6?? bitte nur einen guten tipp Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.10.2005, 00:11

Mathespezialschüler

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Ja, $\begin{eqnarray*} \ln\sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2 \end{eqnarray*}$ ist richtig bei 5. .

Zitat:

Original von Basti79
Tip: Ein geeigneter Anfang ist es, das Argument des Logarithmus zu substituieren.

Das ist der Tip für die 6. Aufgabe. Danach partiell integrieren.

Gruß MSS

12.10.2005, 06:45

system-agent

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nur wenn ich das argument des logarithmus substituiere, dann muss ja das dingens auch ableiten und geschickt in den integranden einsetzen und genau da komm ich nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} u:=x^{3}+1\Rightarrow \frac{du}{dx}=3x^{2}\Rightarrow dx = \frac{1}{3x^{2}}du \end{eqnarray*}$
wie setze ich das jetzt so in den integranden ein, dass alles mit x weg ist? oder braucht man bei partieller integration etwa nicht jedes x zu eliminieren ?

12.10.2005, 14:19

Mathespezialschüler

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Das Ausklammern sollte man natürlich nicht vergessen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int~(x^5+x^2)\ln(x^3+1)~\mathrm dx=\frac{1}{3}\cdot \int~3x^2(x^3+1)\ln(x^3+1)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

12.10.2005, 20:03

system-agent

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grad als ichs geschrieben hab ist es mir aufgefallen....

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