Def-Menge beim arcsin - wo liegt der Fehler?

05.10.2005, 15:36	Gast2	Auf diesen Beitrag antworten »
Def-Menge beim arcsin - wo liegt der Fehler? Hi, beim Berechnen der Definitionsmenge eines arcsin komme ich an folgende Stelle: $\begin{eqnarray} -1 \leq \frac{\sqrt{4ax}}{x+a} \leq 1 \end{eqnarray}$ Wenn ich das nun wie folgt umforme komme ich auf das (falsche) Ergebnis x=a - richtig wäre $\begin{eqnarray} R_0^+ \end{eqnarray}$ (in der Aufgabe ist $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ definiert): $\begin{eqnarray} (-x-a)^2 \leq 4ax \leq (x+a)^2 \end{eqnarray}$ Ich habe die einzelnen Schritte in Mathematica nachgestellt und der Fehler ergibt sich beim Quadrieren der Wurzel. Warum darf ich das denn nicht machen? Beim Substituieren mit $\begin{eqnarray} z = \sqrt{x} \end{eqnarray}$ kommt auch x=a heraus ... wie soll ich das denn sonst ausrechnen?
05.10.2005, 15:46	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
quadrieren ist keine äquivalenz-umformung !! dadurch verlierst du einen teil der lösung... du müsstest dann korrekter weise ne fallunterscheidung machen, was passiert wenn x negativ würde. (a ist des ja schon ausgeschlossen) servus
05.10.2005, 15:57	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!!! Es gilt sicher $\begin{eqnarray} -1<0,5 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt aber nicht $\begin{eqnarray} (-1)^2<0,5^2 \end{eqnarray}$ , denn, wie du siehst, ist letztere Ungleichung falsch! Gruß MSS
05.10.2005, 16:52	Gast2	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich das dann so machen: $\begin{eqnarray} a > 0 \Rightarrow \sqrt{4ax} \geq 0 \Rightarrow x \geq 0 \end{eqnarray}$ Und dann einfach: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{4ax}}{x+a} \leq 1 \Rightarrow \sqrt{4ax} \leq x+a \end{eqnarray}$ Und jetzt kann ich aber quadrieren - nachdem ja beide Seiten der Ungleichung größer 0 sind: $\begin{eqnarray} 4ax \geq x^2 + 2ax + a^2 \Rightarrow 0 \geq (x-a)^2 \end{eqnarray}$ Und damit gilt ja $\begin{eqnarray} D_{{f_a}(x)} = R_0^+ \end{eqnarray}$ So würde man ja auch alle Punkte bekommen, oder?
05.10.2005, 17:00	Gast2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray} 0 \leq (x-a)^2 \end{eqnarray}$
05.10.2005, 21:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es ok. Gruß MSS
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05.10.2005, 23:10	Gast2	Auf diesen Beitrag antworten »
Mil gracias

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