affiner Unterraum ist affiner raum?

10.04.2008, 13:17	bodom	Auf diesen Beitrag antworten »
affiner Unterraum ist affiner raum? Hallo, ich verstehe nicht ganz, warum ein affiner Unterraum selbst ein affiner Raum ist. Kann mir hier jemand helfen????
10.04.2008, 13:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
weil er die Definition eines affinen Raumes erfüllt. Tut mir leid ohne eure genaue Definition kann man da auch nicht mehr sagen
10.04.2008, 13:55	bodom	Auf diesen Beitrag antworten »
in meinem buch heißt es: ein affiner Unterraum entsteht also durch Abtragen aller Vektoren aus dem Untervektorraum V an einem festen Punkt p. Ist $\begin{eqnarray} B = p\oplus V \end{eqnarray}$ ein affiner Unterraum, so wird (B, V, pfeil\| B x B) offenbar selbst zu einem affinen Raum. Also das mit dem Abtragen der Vektoren usw. versteh ich alles. Die Definition vom affinen Raum ist ja: Ein affiner Raum ist ein Tripel (A,V, pfeil) bestehend aus - einer nichtleeren Menge A (Punktmenge) - einem Vektorraum V über einem Körper k - einer Abbildung Pfeil: A x A -> V, die jedem Punktepaar (p,q) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A x A einen Verbindungsvektor v= vektor(pq) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V zuordnet, so dass die Axiome gelten: (A1) Abtragbarkeit zu jedem Punkt aus A und jedem Vektor aus V ex. genau ein Punkt q $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ mit vektor(qp)=v (A2) Dreiecksregel Das versteh ich alles, nur krieg ich den "link" zu dem affinen Unterraum nicht hin....
10.04.2008, 14:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dir ist also klar das, nach deiner Schreibweise, $\begin{eqnarray} b \oplus V \end{eqnarray}$ ein affiner Unterraum ist? Oder willst du zeigen dass das ein affiner Unterraum ist? Meine Definition des affinen Unterraums ist: Sei A ein affiner Raum mit zugehör. VR V. Sei L eine Teilmenge von A, dann heißt L affiner Unterraum mit zugehör. UVR U wenn gilt: $\begin{eqnarray} \forall P\in L \forall u\in U \exists Q\in L: \vec{PQ} = u \end{eqnarray}$ (A1) folgt mit Einschränkung der "Pfeil"-Funktion auf L da es bereits in A gilt und (A2) gilt ebenfalls weil es in A funktioniert.
10.04.2008, 14:14	bodom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das mit dem Unterraum ist mir klar. Gibt es da vll einen Beweis, warum der affine Unterraum mit der Einschränkung selbst ein affiner Raum ist? Vielleicht würd ich es dann verstehen. Ich hab schon den ganzen Tag gesucht, aber leider nichts gefunden... ach ja: vielen, vielen dank für deine hilfe!!
10.04.2008, 14:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh bei uns wurde das als trivial angesehen Ich versuche es mal etwas weiter auszuformulieren. (A2) gilt nach der Einschränkung auf L natürlich immer noch, da es ja bereits in A ging. Da nach der Definition des affinen Unterraums die Pfeilfunktion für alle Punkte in U abbildet ist die Einschränkung wohldefiniert, d.h. A2 ist gezeigt. Jetzt müssen wir noch A1 zeigen. Wir wissen bereits das für alle Punkt P ein Punkt Q existieren muss so das diese auf Vektoren des Untervektorraums abbilden, den das ist genau die Definition eines affinen Unterraums. Jetzt muss noch gezeigt werden das dieser Punkt Q eindeutig ist. Da wir allerdings in unserem affinen Raum A bereits einen Punkt Q' finden der das erfüllt und der nach Definition des affinen Raumes eindeutig ist, muss Q' = Q gelten. Damit ist unser beliebiger Punkt Q eindeutig was zu zeigen war.
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