Kugel Oberfläche

05.10.2005, 19:54	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel Oberfläche Kugeloberfläche: 4phir² Wie leite ich das her??? Danke
05.10.2005, 20:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischen der Oberfläche und dem Volumen der Kugel besteht die Beziehung $\begin{eqnarray} V = \frac{r}{3} \cdot O \end{eqnarray}$ Denn man kann die Kugel mit Pyramiden ( $\begin{eqnarray} V = \frac{G \cdot h}{3} \end{eqnarray}$ ) füllen, deren Höhen der Radius r der Kugel sind und deren Grundflächen zusammen die Oberfläche ergeben. Das Volumen der Kugel kann mittels Rotation eines Halbkreises (Radius r) um seinen Durchmesser berechnet werden, es ist $\begin{eqnarray} V = \frac{4 \cdot r^3 \cdot \pi}{3} \end{eqnarray}$ Aus diesen beiden Beziehungen resultiert O. Gr mYthos
05.10.2005, 20:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Z. B. indem du die Mantelflächenformel $\begin{eqnarray} O=2\pi\int_a^b~f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}~\mathrm dx \end{eqnarray}$ , die für die Mantelfläche des bei der Rotation einer auf $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ differenzierbaren und auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ stetigen Funktion $\begin{eqnarray} f:[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ um die x-Achse entstehenden Rotationskörpers gilt, falls die Funktion $\begin{eqnarray} g:[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , definiert durch $\begin{eqnarray} g(x):=\begin{cases}c & \text{für }x=a \\ f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} & \text{für }a<x<b \\ d & \text{für } x=b\end{cases} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ irgendwelche reellen Zahlen sind, auf [a,b] integrierbar ist. Wende dies doch einmal auf die Funktion des Halbkreises mit Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und Mittelpunkt im Nullpunkt, nämlich $\begin{eqnarray} f:[-r,r]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray}$ an! Dann bekommst du die Oberfläche, weil die Mantelfläche einer Kugel das gleiche ist wie ihre Oberfläche. Gruß MSS edit: @mythos Das sind aber keine echten Pyramiden. Aber du hast Recht, man kann es dadaurch annähern und durch Grenzübergang der Anzahl der Pyramiden gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ kommt man zur Oberfläche ...
05.10.2005, 23:27	Kricki	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen noch... Unter Verwendung von Kugelkoordinaten: $\begin{eqnarray} \int_{\textnormal{Oberfläche}} d\sigma = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} R^2 sin(\vartheta)d\vartheta d\varphi = 4 \pi R^2 \end{eqnarray}$

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