Differentialgleichung

06.10.2005, 02:58

benni

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Differentialgleichung

Nach langer Diskussion mit meinem Mitbewohner brauch ich nochmal eure Hilfe.

Geben sie die Lösung für
$\begin{eqnarray*} y' = - \frac{2y^4 + 3x}{4y^3x} \end{eqnarray*}$
in expliziter Form an.

Unserer Ansicht nach geht dies nur mit der totalen Differentialgleichung!

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{DF}{Dx}}{\frac{DF}{Dy}} = - \frac{g(x,y)}{h(x,y)} \end{eqnarray*}$ , wobei das D für del, also die partielle Ableitung steht. Fand das symbol nicht im editor.

Gut, in der Aufgabe wäre dann:

$\begin{eqnarray*} g(x,y) = 2y^4 + 3x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} h(x,y) = 4y^3x \end{eqnarray*}$

soweit mal in Ordnung? Hoffe doch smile

smile

Gut, die Lösung für die totale Differentialgleichung lautet wie folgt:
$\begin{eqnarray*} F(x,y) = G(x,y) + \int~(h(x,y) - \frac{DG(x,y)}{Dy} )~dy \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} G(x,y) = \int~g(x,y)~dx \end{eqnarray*}$

So, genug Formeln.

ausgerechnet hab ich nun :

$\begin{eqnarray*} G(x,y) = 2xy^4 + 1,5x^2 \end{eqnarray*}$

und somit ergibt sich dann für F(x,y)

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = 2xy^4 + 1,5x^2 + \int~(4y^3x - 8xy^3)~dy \end{eqnarray*}$
daraus folgt
$\begin{eqnarray*} F(x,y) = 2xy^4 + 1,5x^2 + y^4x - 2xy^4 \end{eqnarray*}$
und zu guter letzt
$\begin{eqnarray*} F(x,y) = 1,5x^2 + y^4x \end{eqnarray*}$

Ja, das wäre nun meine Lösung.
Leider kommt laut Musterlösung der Klausur heraus:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = y^4x^2 + x^3 + c \equiv 0 \end{eqnarray*}$

gut das c fehlt bei mir, aber was habe ich sonst falsch gemacht? Danke für die Hilfe!

06.10.2005, 07:18

AD

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Ich kenne mich mit dem Verfahren nicht so aus, aber du scheinst ein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zu suchen mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x}=g,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=h \end{eqnarray*}$

So ein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ kann es aber nur geben, wenn die Bedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial x} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist!!! Und das ist bei deinem Ansatz für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nicht der Fall - wenn du beide Funktionen mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multiplizierst hingegen schon. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.10.2005, 11:48

benni

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Ja gut, aber ich kann ja in dem bruch nit einfach oben und unten nen x multiplizieren, da müsste ich ja auch links eins dazu machen, und dann stimmt gar nix mehr.

Welches Verfahren würdest du denn nehmen um auf die gegebene Musterlösung zu kommen?

06.10.2005, 11:52

AD

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Zitat:

Original von benni
Ja gut, aber ich kann ja in dem bruch nit einfach oben und unten nen x multiplizieren

Wieso nicht, was spricht denn dagegen?

$\begin{eqnarray*} y' = - \frac{(2y^4 + 3x)x}{(4y^3x)x} \end{eqnarray*}$

06.10.2005, 12:02

benni

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ok, bruch erweitern. ne geht schon, hab falsch gedacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hm, so stimmt die Lösung dann.

Aber wie bist drauf gekommen das man x dazu multiplizieren muss? Einfach gesehen?

06.10.2005, 16:05

AD

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Ein Auge auf die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial x} \end{eqnarray*}$ , das andere (unerlaubterweise Teufel

Teufel

) auf die von dir bereits angegebene Lösungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , schon sieht man's . Ob's da auch systematische Verfahren gibt - keine Ahnung, so tief stecke ich da nicht in der Materie drin, da wissen andere sicher besser Bescheid.

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06.10.2005, 16:35

Wally

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RE: Differentialgleichung
Du kannst auch
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{-1}{2x}y-\frac{3}{4}y^{-3} \end{eqnarray*}$
schreiben. dann ist es eine (relativ einfache) Bernoulli-Dgl.

Wally

06.10.2005, 16:40

benni

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hm. dieses bernoulli kommt bei uns nit vor im skript. Muss mir das nochmal ankucken, aber ich weiss jetzt schon welches thema ich überhaupt nicht mag !
danke auf jedenfall mal!!

07.10.2005, 20:41

benni

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gut also so langsam komm ich mit den differentialgleichungen besser zurecht.

aber eine neue frage stellt sich mir, und zwar folgendes:

Bestimmen sie die partikulären Lösungen der folgenden Differentialgleichungen 2. Ordnung:

$\begin{eqnarray*} y'' - 3y' + 2y = 0 \end{eqnarray*}$

mit f(0) = 6 und f(1) = 25,651

So, im Skript steht leider nur (siehe 1. Ordnung).

Bei den differentialen 1. Ordnung bekomm ich es meistens hin, aber hier versteh ichs nun leider nicht. Mein Ansatz wäre, wieder diese Gleichung mit
Ae^-x u.s.w. aufzustellen, aber was mach ich mit dem 2. ordnung?

Die Lösung im übrigen sollte sein:

C1 = 2 und C2 = 4
Funktion divergiert

Könnte mir jemand sagen wie man darauf kommt?

07.10.2005, 20:49

AD

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Zitat:

Original von benni
Die Lösung im übrigen sollte sein:

C1 = 2 und C2 = 4

Was soll denn das für eine Lösungsdarstellung sein? geschockt

geschockt

Wenn du

$\begin{eqnarray*} y(x)=2e^{2x}+4e^x \end{eqnarray*}$

meinst, dann schreib es auch so. Zu dem Thema "Gewöhnliche lineare DGL mit konstanten Koeffizienten" gibt es hier zig Threads. Oder du konsultierst mal die Wikipedia.

07.10.2005, 21:04

benni

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ja das ist die frage die ich mir eben stell.

In der Lösung (Klausurmusterlösungen) steht es eben mit C1 und C2!

deswegen frag ich ja hier weil das für mich keinen Sinn ergibt!

07.10.2005, 21:12

AD

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Zitat:

Original von benni
In der Lösung (Klausurmusterlösungen) steht es eben mit C1 und C2!

Ja, und ich wette, dass irgendwo mitten in der Lösung die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^x \end{eqnarray*}$

der homogenen DGL stand, aber du hast dir ja nur die letzte Zeile angeschaut. unglücklich

unglücklich

Du musst dir schon alles ansehen!

07.10.2005, 21:16

benni

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ne, das is ja das große problem. die lösungen von den klausuren beschränken sich immer auf die letzten ergebnisse. Das was ich vorher geschrieben hab ist alles!
auf die allgemeine Lösung würde ich glaub ich sogar noch kommen, wobei ich das ja leider nit prüfen kann, aber dann die beiden C's oder eben A's... naja, nochmal googeln.

07.10.2005, 21:34

benni

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gut mit deiner allgemeinen Formel hat das funktioniert.
so versteh ichs sogar ein wenig !
mich hat eben verwirrt, das das einzige was dazu im skript steht diese formel ist:

$\begin{eqnarray*} y_h = A_{1}e^{rt} + A_{2}te^{rt} \end{eqnarray*}$

Und dann kommt die Lösung nicht raus, denn für

kommen völlig andere Lösungen raus.
Aber danke für deine allgemeine Form, die klappt auf jedenfall!

07.10.2005, 21:59

AD

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Nein, dieser Fall $\begin{eqnarray*} a_1^2=4a_2 \end{eqnarray*}$ trifft hier eben nicht zu, sondern $\begin{eqnarray*} a_1^2=(-3)^2=9>8=4a_2 \end{eqnarray*}$ ! Aber um das zu erläutern, müsste ich erstmal erklären, was du mit $\begin{eqnarray*} r,a_1,a_2 \end{eqnarray*}$ meinst - wie komme ich denn dazu? Das ist deine Aufgabe, wenn du damit hier rumwirfst. unglücklich

unglücklich

07.10.2005, 22:16

benni

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ja war mein fehler, hab einfach nit aufgepasst sorry!
Bin nun auch auf die Lösung gekommen, dank ner guten Seite die ich noch gefunden hab.
Davor wusste ich auch nicht wie man r rauskriegt, weiss ich nun auch. Stand leider auch nit im Skript.
Also wie gesagt, die Frage hat sich damit mehr oder weniger erübrigt!
Werde mich nun mal an die wagen, wo man nicht so leicht auf r kommt, also auf die potenz von e!

Dank dir auf jedenfall!

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