Binomialverteilung

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung
Folgende Beispielaufgabe steht in einem Mathebuch unter dem Thema Binomialverteilungen:

Ein Glücksrad ist in zehn gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 10 aufgeteilt. Es wird sechsmal hintereinander gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) sind die ersten vier Zahlen gerade
b) tritt mindestens einmal die Zahl 6 auf
c) sind drei hintereinander auftretende Zahlen gerade
d) treten die Zahlen 1 und 6 jeweils genau zweimal auf
e) sind alle Zahlen gerade oder alle Zahlen ungerade
f) treten die Zahlen 1 oder 9 insgesamt viermal auf ?

Kann man diese Aufgaben wirklich mit der Formel für die Binomialverteilung lösen?

Z.B. bei a) würde ich mit einem Baum auf P=(1/2)^6=1/64 kommen.
Aber mit der Binomialverteilungs-Formel....
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung für a) ist falsch, und zwar deswegen, weil die fünfte und die sechste Zahl nicht ungerade sein müssen! Es ist nur gefordert, dass die ersten vier gerade sind, über die letzten beiden ist nichts ausgesagt. Bei a) kannst du es als Bernoulli-Versuch der Länge 4 und mit der Wahrscheinlichkeit interpretieren, auch wenn man das natürlich auch direkt so machen kann wie du.
Bei den anderen ist es ganz ähnlich.

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
auch wenn man das natürlich auch direkt so machen kann wie du.

ich hoffe, das soll keine aufforderung sein, das mit baum zu lösen geschockt


c) und f) sind ungenau gestellt
soll es da genau oder darf es auch ein bisschen mehr sein?

e) kannst du direkt ohne binomialverteilung lösen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht mit Baumdiagramm. Man kann sich das ja auch so überlegen (das ist dann die Baumdiagrammüberlegung im Kopf) ohne Binomialverteilung.
Bei c) hätte ich jetzt mind. vermutet. Bei f) allerdings bin ich mir auch nicht sicher.

Gruß MSS
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) Also kann ich einfach wegen fehlender Angaben die letzten beiden Drehungen für die Wahrscheinlichkeitsberechnung ignorieren, so dass P=1/16 resultiert?

zu c) Bernoulli-Kette der Länge 3 mit p=0,5 => P=1/2^3 ?

Ich gehe mal stark davon aus, dass hier "genau drei hintereinander auftretende Zahlen" gemeint ist, sonst würde eure Ignorieren-These wie in a) ja verfallen.

zu d) Bernoulli-Kette der Länge 4 mit p=0,1 => P=1/10000 ?

zu f) siehe d) ?

Auch hier denke ich, dass "insgesamt genau viermal" gemeint ist.

Wenn das soweit alles stimmt lag also mein Denkfehler daran, dass ich irgendwie noch die nicht weiter charakterisierten Drehungen des Glücksrades noch miteinbeziehen wollte.

Gruß Björn
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
zu c) Bernoulli-Kette der Länge 3 mit p=0,5 => P=1/2^3 ?

Wenn genau drei gemeint ist, dann musst du aber noch die Wahrscheinlichkeit mit einbeziehen, dass die anderen drei ungerade sind. Außerdem gibt es vier Möglichkeiten für drei gerade Zahlen hintereinander, nämlich Drehungen
1, 2, 3; 2, 3, 4; 3, 4, 5; 4, 5, 6.

Gruß MSS
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn jetzt darauf, dass bei c) alle anderen Zahlen ungerade sein müssen. Könnte doch z.B. nach den drei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen auch erst eine ungerade und dann noch zwei gerade Zahlen folgen....

Wenn ich es mir recht überlege, wäre es doch logischer, wenn die Aufgabe so gemeint wäre, wie du erst vermutet hattest, also "mindestens drei hintereinander auftretende Zahlen sind gerade".

Ich meine mich auch zu erinnern, dass wenn keines der Wörter "mindestens","höchstens" oder "genau" explizit da steht, kann man immer davon ausgehen, dass "mindestens" gemeint ist, weil nur somit auch gewährleistet ist, dass danach irgendwelche Ergebnisse folgen.

Hab aber keinen Plan, wie ich diese Wahrscheinlichkeit nun berechnen soll. Mit Binomialverteilung B(3)+B(4)+B(5)+B(6) geht ja nicht, weil das ja nicht die Einschränkung auf mindestens drei "hintereinanderfolgende" gerade Zahlen berücksichtigt sondern alle mit 3,4,5 oder 6 geraden Zahlen. Irgendeine Idee ? Es muss doch auch ohne so nen großen Baum gehen.

Gruß Björn
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Wie kommst du denn jetzt darauf, dass bei c) alle anderen Zahlen ungerade sein müssen. Könnte doch z.B. nach den drei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen auch erst eine ungerade und dann noch zwei gerade Zahlen folgen....

Du hast Recht, da habe ich mich geirrt. Aber da das in der Tat zu viele Fallunterscheidungen gäbe, ist das mit "mind." wohl wirklich logischer.
Allerdings wird es jetzt dann wirklich einfacher. Denn aus meiner obigen falschen Bemerkung ist doch noch etwas richtiges herauszuziehen: Du hast nicht beachtet, wie die anderen Zahlen aussehen. Du hast bei also schon alle Fälle mit mind. drei aufeinanderfolgenden Zahlen mit drin. Das ist also schon richtig so. Wie schon gesagt, musst du das aber noch mit 4 multiplizieren.

Gruß MSS
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin mir sehr sicher, dass P=20/64=5/16 rauskommt.

Ich hab mir das anhand eines Baumes überlegt:

Ausgegangen bin ich von den von dir auch schon erwähnten 4 Möglichkeiten für drei aufeinander folgende gerade Zahlen bei 6 Drehungen.

1,2,3 => Es gibt 8 mögliche Pfade, die diese mind. 3 hintereinanderfolgenden geraden Zahlen beinhalten

2,3,4 => 4 mögliche Pfade

3,4,5 => 4 mögliche Pfade

4,5,6 => 4 mögliche Pfade

Also erhält man 20 Pfade mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit von 1/2^6, also P=20/64=5/16


Schade, dass es nicht mit der Binomialverteilungsformel geht.

Trotzdem danke für die Mithilfe.

Gibt es noch Vorschläge zu d) und f) oder sind die bei mir richtig?

Gruß Björn
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber wie kommst du denn auf die Pfade? Und wofür stehen die Möglichkeiten? Ist mir sehr unverständlich. verwirrt

d) Nein, das stimmt so sicher nicht. 1. musst du hier mit Bernoulli-Kette der Länge 6 rechnen, da es ja "genau" heißt. Dann musst du beachten, dass verschiedene Anordnungen möglich sind. Wenn man z. B. berechnen will, wie groß die WK für genau 4 3en ist, dann gibt es unter den 3en nur eine mögliche Anordnung, nämlich 3333. Bei der jetzigen Aufgabe hast du aber die Zahlen 6611, bei denen es mehrere Anordnungen gibt. Dies musst du noch multiplizieren mit der WK, dass genau 4 bestimmte Zahlen auftreten.
f) Zunächst haben wir auch hier "genau" vier, also Bernoulli-Kette der Länge 6. Hier hast du genau das gleiche wie bei den geraden Zahlen, nur dass du nicht 5 von 10 "günstigen" Zahlen hast, sondern halt nur 2 von 10.

Gruß MSS
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

@ MSS

Also ich hab mir deine Lösung zur Aufgabe c) noch mal durch den Kopf gehen lassen und finde sie eigentlich sehr logisch.
Ich kann nur einfach nicht verstehen, warum das nicht mit meiner zwar komplizierteren aber normalerweise auch möglichen Lösung durch das Abzählen der in Frage kommenden Pfade eines Baumes mit insgesamt 2^6=64 Pfaden, wonach ja jeder der 64 Pfade eine Wahrscheinlichkeit von 1/2^6, also 1/64 haben muss, nicht funktioniert. Wenn ich mir also genau die Pfade vorstelle, welche schonmal 3 gerade Zahlen hintereinander haben (also, die nach folgenden Drehungen: (1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6) ), dann kann man sich doch für jeden dieser vier Fälle vorstellen, wieviele Möglichkeiten jeweils, natürlich ohne sich zu wiederholen, existieren. Diese Anzahl muss doch dann am Ende nur noch mit Wahrscheinlichkeit jedes Pfades, also 1/64, multipliziert werden.
Wäre sehr nett, wenn mir jemand verklickern könnte, wo mein Denkfehler liegt.

Bei Aufgabe d) wäre ich für einen konkreten Lösungsvorschlag sehr dankbar.

Ich hatte mir da (mit etwas Hilfe) folgendes überlegt:

P= B(6,1/10,2) * B(4,1/10,2) + B(6,1/10,2) * B(4,1/10,2)

Also zuerst zwei Einsen aus 6 und dann 2 Sechsen aus 4 und dann nochmal umgekehrt die andere Variante 2 Sechsen aus 6 und 2 Einsen aus 4.

Wie sieht es mit dieser Lösung aus?
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