Umkehrung eines Bruches ???

06.10.2005, 11:51

silkesommer

Umkehrung eines Bruches ???

So, nun mit einem neuen Thema.

Vor lauter Regeln blick ich allmählich nicht mehr durch. Gestern in Mathe hiess es mal ganz kurz, dass bei Ableitungen eine Umkehrfunktion eines Bruches gebe. Ich meine nicht das Ableiten einer Stammfunktion. Kann mir jemand sagen, wo man die Umkehrfunktion eines Bruches anwendet bzw. in welcher Regel sich dies versteckt, damit ich nachlesen kann.

Danke schon mal im voraus.

06.10.2005, 12:20

mercany

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hmm.... irgendwie verstehe ich glaube ich nicht so recht, was du meinst.

also beispielsweise: die umkehrfunktion der exponentialfunktion ist die logarithmusfunktion!

mfg, mercany

06.10.2005, 12:33

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von silkesommer
Gestern in Mathe hiess es mal ganz kurz, dass bei Ableitungen eine Umkehrfunktion eines Bruches gebe.
...
Kann mir jemand sagen, wo man die Umkehrfunktion eines Bruches anwendet

Der Nebensatz im ersten Satz ist grammatikalisch so daneben, dass man da gar nichts versteht. Und eine Umkehrfunktion eines Bruches gibt es nicht.
Ich kann mir aber denken, was du suchst: Die Ableitungsregel für die Umkehrfunktion, richtig? Die lautet so:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sei differenzierbar (auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ) und die die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ sei stets $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ (auf $\begin{eqnarray*} f(I) \end{eqnarray*}$ ) differenzierbar und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

06.10.2005, 12:47

silkesommer

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Sorry für die umständliche Erklärung.

Kannst Du mir Deine Theorie bitte anhand eines Beispiels f(x) zeigen?

Gruss

06.10.2005, 12:54

Mathespezialschüler

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Ich nehme mal ein einfaches Beispiel. Sei $\begin{eqnarray*} x=f(y)=y^5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar mit der Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(y)=5y^4 \end{eqnarray*}$ , diese wird niemals 0. Die Umkehrfunktion ist

$\begin{eqnarray*} y=f^{-1}(x)=\sqrt[5]{x} \end{eqnarray*}$ .

Ihre Ableitung ist nach der Formel

$\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{5(f^{-1}(x))^4}=\frac{1}{5\left(\sqrt[5]{x}\right)^4}=\frac{1}{5x^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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