Logarithmus quadrieren

06.10.2005, 12:40

Martin R.

Logarithmus quadrieren

Hallo allerseits,

rechne nach langer Zeit beim Bund grad mal wieder alte Abi-Aufgaben. verwirrt

Da taucht ein Problem auf:
Es ist durch Integration nachzuweisen, dass das unbestimmte Integral von ln(x) nach dx letztendlich x*ln(x)-x+c ergibt.
Ich habe also im Integral ln(x) erstetzt durch k und anschließend integriert.

Da kommt dann (1/2)*k^2 raus. Wenn ich nun wieder k durch ln(x) ersetze, müsste ich ja ln(x) quadrieren.

Kann mir jemand von euch sagen, wie man das vereinfacht schreiben kann???
Hab echt alle meine Tafelwerke gewälzt und in keinem hab ich was dazu gefunden...

Vielen Dank im Voraus. Ciao, Martin.

06.10.2005, 12:51

derkoch

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ich kann mich auch irren, aber normaler weise löst man dieses integral doch durch partielle integration und nicht durch substitution! verwirrt

06.10.2005, 12:58

Mathespezialschüler

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \ln x=k \end{eqnarray*}$ substituierst, dann musst du natürlich auch $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$ mitersetzen!

$\begin{eqnarray*} \mathrm dx=\operatorname e^k~\mathrm dk \end{eqnarray*}$

und dann erhält man

$\begin{eqnarray*} \int~\ln x~\mathrm dx=\int~k\operatorname e^k~\mathrm dk \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} \int~\ln x~\mathrm dx=\int~k~\mathrm dk \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

06.10.2005, 13:12

Martin R.

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Dankesehr
Danke Mathespezialschüler.

Das hatte ich vergessen, dass man auch das dx substituieren muss.
Naja, Schulzeit ist bei mir nun schon eine kleine Weile her. Ich muss mich nun vor'm Studium ersteinmal wieder ins mathematische Denken reinfinden.

Aber ich probier deinen Tipp gleich mal aus. Ich hoffe, dann funzt es.

Wie gesagt, besten Dank. Schönen Tag noch.

P.S.: Mathematik ist die einzig perfekte Möglichkeit, sich selbst an der Nase herumzuführen...

06.10.2005, 13:30

JochenX

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RE: Logarithmus quadrieren

Zitat:

Original von Martin R.
Es ist durch Integration nachzuweisen, dass das unbestimmte Integral von ln(x) nach dx letztendlich x*ln(x)-x+c ergibt.

was meinst du denn mit unbestimmtes integral?
das ist doch grenzenabhängig?

geht es hier nicht einfach um die verifikation einer stammfuntkion?
da du es hier mit integration und nicht rückwärtiger differentiation machen sollst, empfehle ich dir folgende methode, die sich die substitution spart;
nach eurer rechnung braucht ihr eh noch eine partielle integration

also direkt partiell integrieren mit ln(x)=1*ln(x)
rest darfst dir selbst zurechtbiegen

mfg jochen

06.10.2005, 13:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von LOED
was meinst du denn mit unbestimmtes integral?
das ist doch grenzenabhängig?

geht es hier nicht einfach um die verifikation einer stammfuntkion?

Grenzenabhängig ist das bestimmte Integral. Das unbestimmte Integral ist in der Tat einfach irgendeine Stammfunktion. Augenzwinkern

Übrigens wollte ich gar nicht, dass er dann mit dem Integral nach der Substitution weiter macht. Ich bin ja auch dafür, dass man hier direkt partiell integriert.

Gruß MSS

06.10.2005, 13:40

Martin R.

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RE: Logarithmus quadrieren
Hi Mathespezialschüler,

hab das grad noch mal ausprobiert und festgestellt:

Wenn k=ln(x), dann ist k'=dk/dx=1/x (1. Ableitung von k).
Daraus folgt: dx=dk*x.
Wenn das der Fall wäre, dann bekäme ich letztendlich heraus...

$\begin{eqnarray*} \int~k*x~dk \end{eqnarray*}$

Hab dann noch, nach etwas grübeln, das verbleibende x noch durch umformen von k=ln(x) ersetzt. Haut also hin.

Jo denn, bis zum nächsten mathematischen Problem...

06.10.2005, 13:46

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Grenzenabhängig ist das bestimmte Integral. Das unbestimmte Integral ist in der Tat einfach irgendeine Stammfunktion. Augenzwinkern

danke, MSS
ich hatte den begriff unbestimmtes integral mit etwas völlig anderem im zusammenhang, etwa mit sowas:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{7}~ln(x)~dx \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int_{7}^{\infty}~1/x~dx \end{eqnarray*}$ mit unbestimmten integralgrenzen und grenzwertbetrachtung

wieder mal geirrt Augenzwinkern

edit: zweimal ^ vergessen

06.10.2005, 13:48

Mathespezialschüler

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Jaja, Jochen. Augenzwinkern

Diese Dinger nennt man dann uneigentliche Integrale. Big Laugh