Dirichletproblem

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10.04.2008, 17:39	TigerEye	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirichletproblem Folgendes Problem: Man soll eine auf $\begin{eqnarray} K = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \vert x^{2} + y^{2} \leq R^{2} \right\rbrace \end{eqnarray}$ stetige FUnktion u bestimmen (mit R > 0), so dass die Laplacegl. $\begin{eqnarray} \Delta u(x,y) = 0 \forall (x,y) \text{mit} x^{2}+y^{2} < R \end{eqnarray}$ gelöst wird und die Randbed. $\begin{eqnarray} u(x,y) = f(x,y) \forall (x,y) \in \partial K \end{eqnarray}$ erfüllt (mit $\begin{eqnarray} f(x,y) = x \cdot y \end{eqnarray}$ ) Wie gehe ich an dieses Problem ran? In der Vorlesung haben wir so etwas in Polarkoord. umgerechnet und ein Produktansatz gewählt: $\begin{eqnarray} U(r, \phi) = v(r) \cdot w(\phi) \end{eqnarray}$ . Dies führt dann auf gekoppelte Diffgl. $\begin{eqnarray} v'' + \dfrac{1}{r} v' - \dfrac{\lambda}{r^{2}} v = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w'' + \lambda w = 0 \end{eqnarray}$ mit w 2-Pi-periodisch. Und jetzt? Ich weiss einfach nicht weiter, obwohl es warhscheinlich ganz einfach ist. Könnte mir jemand weiterhelfen?
10.04.2008, 19:54	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dirichletproblem Wenn ich mich nicht täusche, löst $\begin{eqnarray} u=f \end{eqnarray}$ das Problem, oder?
10.04.2008, 20:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du täuschst dich natürlich nicht. Und da hier nur eine Lösung gesucht wird, ist man bereits fertig - obwohl es auch die einzige Lösung sein dürfte, wenn mich meine Kenntnisse zur Laplace-PDGL nicht im Stich lassen.
10.04.2008, 20:19	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nur gestutzt, weil ich den Aufgabensteller nicht verstehe. Wozu gibt er ein explizites Referenzgebiet K an? Dieses Problem lässt sich auf beliebigen Gebieten lösen.
10.04.2008, 21:49	TigerEye	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. Ich geh jetzt einfach mal davon aus dass das wirklich so trivial ist Es gibt noch einen zweiten Aufgabenteil indem $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^{2} \end{eqnarray}$ Hier kann ich doch einfach aufgrund der Randbedingung sagen, dass $\begin{eqnarray} x^{2} = R \end{eqnarray}$ also konstant ist und deshalb die Laplacegleichung wieder erfüllt ist, oder? (Mein u ist dann wieder u(x,y) = x^2)
10.04.2008, 21:50	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \Delta x^2\not=0 \end{eqnarray}$
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10.04.2008, 22:23	TigerEye	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, klar $\begin{eqnarray} \Delta x^{2} = 2 \neq 0 \end{eqnarray}$ . Aber die Randbedingung besagt doch: $\begin{eqnarray} u(x,y) = x^{2} \forall (x,y) \in \partial K \end{eqnarray}$ . Und am Rand von K gilt doch gerade x^2= R. Dies ist doch konstant und wenn ich das ableite wird das doch 0, also ist doch die Laplace-Gl. erfüllt !?
10.04.2008, 22:41	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was machst du im Inneren von K?
10.04.2008, 22:53	TigerEye	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das geht natürlich nicht Hab jetzt folgendes probiert: $\begin{eqnarray} u(x,t) := \dfrac{1}{2} \left( x^{2} - y^{2} + R^{2} \right) \end{eqnarray}$ Dies erfüllt die Randbedingung, denn dort gilt der Zusammenhang y^2 = R^2 - x^2 und auch die Laplace-Gl. für (x,y) mit x^2+y^2 < R^2 Ist das so in Ordnung?
10.04.2008, 23:01	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Aber ob du auf diesen Lösungsweg alle Punkte bekommst wage ich zu bezweifeln.
10.04.2008, 23:20	TigerEye	Auf diesen Beitrag antworten »
... und was für einen Lösungweg würdest du vorschlagen?

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