Logarithmus zerlegen

10.04.2008, 17:57

legorado

Logarithmus zerlegen

Hi,

wir beginnen demnächst mit der Gruppe der transzendenten Funktionen. Dazu hat uns unser Lehrer erstmal ein paar Übungsaufgaben gegeben. Bei folgender Aufgabe komme ich leider nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} log\frac{1-a}{1-a^2} \end{eqnarray*}$

dies soll zerlegt werden zu: $\begin{eqnarray*} -log(1+a) \end{eqnarray*}$

so weit bin ich:

$\begin{eqnarray*} log(1-a)-log(1-a^2) \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nun nicht weiter, könnt ihr mit den zündenden Tipp geben? Augenzwinkern

mfg legorado

10.04.2008, 18:03

Yoshee

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zündender tip:
Dritte Binomische Formel!

10.04.2008, 18:14

legorado

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Danke, ich habs! Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} log\frac{1-a}{1-a^2}=log\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}=log\frac{1}{1+a}=log1-log(1+a)=-log(1+a) \end{eqnarray*}$

mfg legorado

10.04.2008, 21:39

Siddhartha

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Ich habe einen anderen Weg genutzt:
$\begin{eqnarray*} log \frac {(1-a)} {(1-a^2)} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} log(1-a)-log[(1-a)*(1+a)] \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} log(1-a)-(log(1-a)+log(1+a)) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} log(1-a)-log(1-a)-log(1+a) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} -log(1+a) \end{eqnarray*}$

11.04.2008, 00:03

mYthos

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Es ist im Prinzip komplett dasselbe!

mY+

12.04.2008, 12:41

legorado

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Eine Frage zu diesem Thema hab ich noch, die letzte von 22 Aufgaben.

$\begin{eqnarray*} 0,01^{lgx}*(10x)^{-2+lgx}=10^4*x^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,01^{lgx}*\frac{1}{(10x)^2}*(10x)^{lgx}=\frac{10^4}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,01^{lgx}*(10x)^{lgx}=10^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,01^{lgx}*10^{lgx}*x^{lgx}=10^6 \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir nun nicht sooo sicher:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2}*x*x^{lgx}=10^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{lgx}=10^6x \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich leider nicht weiter.

mfg legorado

13.04.2008, 17:29

Siddhartha

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Zitat:

Original von mYthos
Es ist im Prinzip komplett dasselbe!

mY+

Das ist mir klar nur halte ich legardos Methode für geschickter, weil es weniger ein stumpfes Ausrechneun ist. Augenzwinkern

13.04.2008, 19:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von legorado
$\begin{eqnarray*} x^{lgx}=10^6x \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich leider nicht weiter.

Es ist auch nicht ganz einfach. Zuerst mal ist deine Gleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} x^{\lg x - 1} = 10^6. \end{eqnarray*}$

Anwendung von lg ergibt

$\begin{eqnarray*} (\lg x - 1)\lg x = 6. \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} y = \lg x: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y - 1)y = 6. \end{eqnarray*}$

Das ist nun eine quadratische Gleichung, die du für y lösen kannst. Am Ende ist dann x = 10 hoch [deine Lösung für y].

13.04.2008, 20:10

legorado

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Ok, ich hab nun $\begin{eqnarray*} x_1=1000 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=0,01 \end{eqnarray*}$ , soweit so gut.

Ich verstehe nun nur nicht, warum

$\begin{eqnarray*} x^{lgx}=10^6*x \end{eqnarray*}$

gleich

$\begin{eqnarray*} x^{lg(x-1)}=10^6 \end{eqnarray*}$

ist?

gilt der immer?

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{lgy}}{x}=x^{lg(y-1)} \end{eqnarray*}$

mfg legorado

13.04.2008, 20:21

Rare676

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Zitat:

Original von legorado
Ok, ich hab nun $\begin{eqnarray*} x_1=1000 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=0,01 \end{eqnarray*}$ , soweit so gut.

Ich verstehe nun nur nicht, warum

$\begin{eqnarray*} x^{lgx}=10^6*x \end{eqnarray*}$

gleich

$\begin{eqnarray*} x^{lg(x-1)}=10^6 \end{eqnarray*}$

ist?

gilt der immer?

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{lgy}}{x}=x^{lg(y-1)} \end{eqnarray*}$

mfg legorado

Woher kommt denn deine Klammer im Exponenten? Ich sehe keine bei Webfritzi Augenzwinkern

Das ist einfach nur eine Potenzregel...

13.04.2008, 20:28

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^{\lg(x)}}{x} = x^{\lg(x) - 1} \end{eqnarray*}$

13.04.2008, 21:30

legorado

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Ok, ich dachte WebFritzi hat die Klammer vergessen. Ich sollte wohl nicht so viel über das Können altgedienter Nachdenken. Gott

Ich hab nun auch die Regel in meiner Formelsammlung gefunden und alles verstanden.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^n}=a^{-n} \end{eqnarray*}$

Eigentlich schon lange bekannt und auch schon oft verwendet, doch dieses lgx hat mich verwirrt.

Vielen Dank euch allen, das ich echt ein super Team hier!!!

mfg legorado

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