Gewöhnliche Differentialgleichungen

10.04.2008, 18:29

Mulder

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Hallo,

wir sind heute mit gewöhnlichen DGL angefangen, und ich versuche mich jetzt grade ein bißchen mit dem ersten Übungszettel. Ich habe eigentlich noch nie konkret damit gerechnet, insofern stehe ich da etwas auf dem Schlauch. Es geht um folgendes "Anfangswertproblem":

$\begin{eqnarray*} y'=y \cdot ln(y), y>1, y(0)=e \end{eqnarray*}$

Ich lese gerade ein bißchen hier im Forum rum, und bin jetzt soweit mit meinen Erkenntnissen, dass ich hier wohl etwas integrieren muss (sorry, ich bin vorher wirklich noch nie mit dem Thema in Kontakt gekommen).

Jetzt habe ich glaube ich eine Lösung dafür, und wollte mal wissen, ob die Rechnung so richtig ist. Also, ich muss jetzt erst einmal auf beiden Seiten integrieren, ja?

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = y \cdot ln(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{dy}{y \cdot ln(y)} = dx \end{eqnarray*}$

Das Integrieren an sich niederschreiben spare ich mir hier, darum geht's ja nicht. Also, ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} ln(ln(y))=x \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} e^{ln(y)}=e^{e^x} \end{eqnarray*}$

Dann ist also $\begin{eqnarray*} y=e^{e^x} \end{eqnarray*}$ die Lösung der Aufgabe? Stimmt das so? Die Bedingung $\begin{eqnarray*} y(0)=e \end{eqnarray*}$ wäre ja erfüllt, so wie ich das sehe.

verwirrt

10.04.2008, 19:07

system-agent

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Du führst mit der Rechnung die "Trennung der Variablen" durch. Das Ziel davon ist wie der Name bereits andeutet dass man die ganzen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , welche deine gesuchte Funktion repräsentieren auf eine Seite bringt und dann "nur" noch integrieren muss.

Soweit zur Idee, gemacht hast du das ganz richtig.

Nur du bekommst nicht
$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{e^x} \end{eqnarray*}$
als Lösung sondern du musst die Integrationskonstante beachten, das heisst du bekommst
$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{e^x+c} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Dies ist die allgemeine Lösung. Den konkreten Wert von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ musst du aus der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0)=e \end{eqnarray*}$ bestimmen.

10.04.2008, 19:17

Mulder

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Aaah, richtig, die Konstante hatte ich vergessen. Okay, die ist ja eh 0 bei der gegebenen Bedindung.

Aber bei der zweiten Aufgabe hänge ich nun total fest. Selbe Aufgabenstellung, mit:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y}{t \cdot ln(y)}, t>0, y>1, y(1)=e \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}= \frac{y}{t \cdot ln(y)} \Rightarrow \frac{t \cdot ln(y)}{y}dy =dx \end{eqnarray*}$

Das habe ich - glaube ich - richtig integriert zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{t \cdot ln²(y)}{2} = x+C \end{eqnarray*}$

Aber hier hänge ich nun irgendwie fest. Entweder ich habe falsch integriert oder mir fehlen da irgendwo ganz elementare Gesetze. Wie forme ich das nach y um?

Ich hatte es mit $\begin{eqnarray*} e^{ln(y)ln(y)}=(e^{ln(y)})^{ln(y)}=y^{ln(y)} \end{eqnarray*}$ probiert, komme da aber irgendwie auf keinen grünen Zweig. Sehe ich da den Wald vor lauter Bäumen nicht?

10.04.2008, 19:22

system-agent

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Habs nun nicht nachgerechnet, aber ich gehe mal davon aus dass es stimmt (Nachrechnen kannst du selbst, zb. hier).

Du hast ja wesentlich
$\begin{eqnarray*} \ln^2(y)=\frac{2x}{t}+c' \end{eqnarray*}$

Nun die Wurzel bemühen
$\begin{eqnarray*} \ln(y)=\sqrt{...} \end{eqnarray*}$

10.04.2008, 19:28

Mulder

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Zitat:

Du hast ja wesentlich
$\begin{eqnarray*} \ln^2(y)=\frac{2x}{t}+c' \end{eqnarray*}$

Wo hast du das denn her? verwirrt

Ich muss doch erst integrieren, erhalte dann, wenn überhaupt, doch:

$\begin{eqnarray*} ln²(y)=\frac{2}{t}(x+C) \end{eqnarray*}$

Oder verstehe ich dich falsch?

10.04.2008, 19:30

system-agent

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Das verstehst du ganz richtig und das ist ja auch das was ich geschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} \ln^2(y)=\frac{2}{t}(x+C)=\frac{2x}{t}+\frac{2C}{t} \end{eqnarray*}$
Aber da der zweite Summand konstant ist hab ich den einfach abgekürzt ("verstecke alles unnötige und komplizierte in der Integrationskonstanten Augenzwinkern

")

$\begin{eqnarray*} c':=\frac{2C}{t} \end{eqnarray*}$

10.04.2008, 19:37

Mulder

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Ach so... das ahnt doch keiner.

Okay, dann - ich bleibe lieber bei meiner umständlichen Notation Augenzwinkern

- habe ich also:

$\begin{eqnarray*} y=e^{\sqrt{\frac{2}{t}(x+C)}} \end{eqnarray*}$

Sieht ganz schön abenteuerlich aus. Dann gibt man für das c also auch ruhig eine von t abhängige Zahl an? Wenn ich das nun richtig gelöst habe, erhalte ich, damit $\begin{eqnarray*} y(1)=e \end{eqnarray*}$ erfüllt ist:

$\begin{eqnarray*} c=\frac{t-2}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist dann die Lösung der Aufgabe? verwirrt

10.04.2008, 19:42

system-agent

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Die Lösung hast du gefunden wenn du einerseits die allgemeine Lösung gefunden hast und in der allgemeinen Lösung dann alle Integrationskonstanten mit den Anfangsbedingungen bestimmt hast, also ja.

Ich schreibe extra IntegrationskonstanteN, denn wenn man eine zweite oder noch höhere Ableitung hat, bekommt man eben 2 oder noch mehr Integrationskonstanten und damit braucht man ebensoviele Anfangsbedingungen um eine eindeutige Lösung zu bekommen. Und spätestens da wirst du bemerken, dass es ziemlich nützlich ist die Konstanten so simpel wie möglich zu wählen smile

10.04.2008, 20:13

Mulder

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Wie schaut es eigentlich aus, wenn man für die Integrationskonstante 2 Lösungen erhält?

$\begin{eqnarray*} y'=2\sqrt{y-1}, y>1, y(1)=2 \end{eqnarray*}$

Da erhalte ich: $\begin{eqnarray*} y=(x+c)²+1 \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} y(1)=(1+c)²+1=2 \end{eqnarray*}$ erhalte ich zwei Lösungen für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=-2 \end{eqnarray*}$ . Ist das okay so, oder muss man da irgendwie ein eindeutiges Ergebnis haben? Es gibt ja keine Einschränkungen für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ....

verwirrt

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