integrieren?

Neue Frage »

06.10.2005, 23:23	Kalli_84	Auf diesen Beitrag antworten »
integrieren? einen wunderschönen guten abend, ich muss mich mal hilfesuchend an euch wenden, da ich im moment nicht genau weiß, ob ich einfach nur verwirrt bin oder vielleicht doch ein bissl recht habe. ich hoffe, ihr könnt mir ein wenig auf die sprünge helfen. also folgendes: es geht um 2 aufgaben: 1. $\begin{eqnarray} f(t)=(5t+5)^5+e^{5t} \end{eqnarray}$ kann ich da einfach die 1. klammer auflösen und dann integrieren oder muss ich da mit der substitutionsformel arbeiten? (falls ja, wäre vielleicht jemand so lieb, mir die an dem beispiel etwas näher zu bringen, da alle bücher, die ich bis jetzt durchforstet habe, doch eher unverständlich sind) 2. $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1}~x^3ln(x^2)~dx \end{eqnarray}$ ich weiß, dass die "aufleitung" von ln x = x ln x - x ist. ich weiß auch, dass die aufleitung von $\begin{eqnarray} (ln(x))^2 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} x(ln(x))^2-2xln(x)+2x \end{eqnarray}$ ist. aber wie siehts mit $\begin{eqnarray} ln(x^2) \end{eqnarray}$ aus? stimmt das überein oder lieg ich da total falsch? schon mal vielen, vielen dank für eure hilfe mein nachtrag $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~ln(x^2)~dx = xln (x^2)-2xln (x)+2x \end{eqnarray*}$ besser? schlechter? holzweg? edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS) sorry... ich musst mir das so schnell von der seele reden...
07.10.2005, 00:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten kannst du natürlich ausmultiplizieren und dann summandenweise integrieren. Das ist aber sehr mühselig. Wesentlich angenehmer ist die Substitution $\begin{eqnarray} u=5t+5 \end{eqnarray}$ . Die Substitutionsregel habe ich hier letztens erst ausführlich formuliert. Bei der zweiten Aufgabe sollte man die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^3\ln(x^2) \end{eqnarray}$ erstmal im Nullpunkt definieren, dort ist sie nämlich bis jetzt nicht definiert. Sie ist dort aber stetig fortsetzbar durch $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ . Nehmen wir dies also einmal an. Dein Nachtrag ist falsch. Beachte zunächst, dass $\begin{eqnarray} x^3\cdot \ln(x^2) \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ , deine Lösung allerdings nur für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ definiert ist. Für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ist deine Lösung übrigens $\begin{eqnarray} =2x \end{eqnarray}$ (Logarithmusgesetz!) und dass das nicht stimmt, dürfte ja klar sein. Du solltest erstmal ein Logarithmusgesetz auf $\begin{eqnarray} \ln(x^2) \end{eqnarray}$ anwenden. Zunächst kannst du dann für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ durch partielle Integration mit $\begin{eqnarray} u'=2x^3,v=\ln x \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion finden und im Nachhinein durch Erweiterung des Definitionsbereiches dieser für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ gefundenen Stammfunktion diese Gültigkeit auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ausweiten. Beachte dabei, dass du das Argument des Logarithmus so darstellst, dass letzterer auch für negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ definiert ist. Gruß MSS edit: Ich sehe gerade, dass man nicht auf $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ , sondern nur auf $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ einschränken muss. Man kann also alles oben analog auch für negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ machen. Insgesamt kommt man also durch partielle Integration mit $\begin{eqnarray} u'=2x^3,v=\ln\|x\| \end{eqnarray}$ zum Ziel einer Stammfunktion für $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ . Und eine kleine Erweiterung dieser Stammfunktion im Nullpunkt bringt dann auch das gewünschte, nämlich eine Stammfunktion auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ .
07.10.2005, 00:14	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
zu1)teile das integral in 2 einzel intgrale auf und dann mit substitution bearbeiten! zu 2) partielle integration anwenden! mit $\begin{eqnarray} u= ln(x^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'= x^3 \end{eqnarray}$
07.10.2005, 00:15	Kalli_84	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray} u'=2x^3,v=\ln x \end{eqnarray}$ ???
07.10.2005, 00:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kalli Wie gesagt, erst einmal Logarithmusgesetz anwenden! Das war der Teil, wo du mitdenken solltest. Gruß MSS
07.10.2005, 00:19	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man $\begin{eqnarray} \int{ln(x²)} \end{eqnarray}$ ohne Logarithmengesetze berechnen möchte, weil man den Definitionsbereich nicht ändern will, kann man mit $\begin{eqnarray} z = \frac {ln(x²)}{2} \end{eqnarray}$ substituieren.
Anzeige

07.10.2005, 00:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann den Definitionsbereich auch beibehalten, obwohl man ein Logarithmusgesetz anwendet: $\begin{eqnarray} \ln(x^2)=2\ln\|x\| \end{eqnarray}$ . Dass ich oben bei der partiellen Integration auf $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ eingeschränkt habe, hatte einen ganz anderen Grund, nämlich den, dass für die partielle Integration die Funktionen $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ gewisse Bedingungen erüllen müssen. Gruß MSS
07.10.2005, 00:31	Kalli_84	Auf diesen Beitrag antworten »
@derkoch wenn ich doch jetzt aber die partielle integration anwende, dann habe ich doch am ende da stehen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}x^4lnx^2-\int_{b}^{a}~\frac{1}{4}x^4???~dx \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ und da genau fehlt mir ja die stammfunktion von ln (x²)
07.10.2005, 00:36	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kalli Jetzt denk doch bitte endlich mal an das Logarithmusgesetz!! $\begin{eqnarray} \ln(x^2)=2\ln x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ . Also gilt für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int~\ln(x^2)~\mathrm dx=2\int~\ln x~\mathrm dx \end{eqnarray}$ . Aber die partielle Integration von derkoch scheint mir wenig zu nutzen, ich bin ja immer noch für meinen Vorschlag von oben! edit: Es ist natürlich dieselbe. Hatte einfach Probleme mit der Reihenfolge, das funzt also schon. Gruß MSS
07.10.2005, 00:38	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn schon, dann so! $\begin{eqnarray} F(x)=\int_{}^{}x^3 ln(x^2)~ dx=\frac{1}{4}x^4lnx^2-\int_{}^{}~\frac{1}{2} x^3~dx \end{eqnarray}$ nun mußt du das zweite integral noch lösen und dann hast du doch eine der stammfunktionen! Edit: $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ hinzugefügt!
07.10.2005, 00:42	Kalli_84	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kann dir eine menge logarithmus gesetze nennen, aber die scheinen mir irgendwie nich weiterzuhelfen... wenn du jetzt aber sagst $\begin{eqnarray} \int~\ln(x^2)~\mathrm dx=2\int~\ln x~\mathrm dx \end{eqnarray}$ dann wäre ja nur noch das ln (x) zu integrieren und das weiß ich ja? dann komm ich also auf die stammfunktion: 2(x*ln x - x)
07.10.2005, 00:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie derkoch dir grad zeigte, brauchst du das gar nicht!! Mit der partiellen Integration von derkoch und mir kommst du auch ohne dieses Integral aus! Gruß MSS
07.10.2005, 06:44	Kalli_84	Auf diesen Beitrag antworten »
hatte gestern nacht probleme mit meinem rechner... also stimmt meine annahme jetzt`?
07.10.2005, 15:00	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies doch bitte einmal unsere Beiträge! Du brauchst gar keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \ln(x^2) \end{eqnarray}$ und selbst wenn du sie hättest, sie brächte dir gar nichts! Gruß MSS
10.10.2005, 00:43	Kalli_84	Auf diesen Beitrag antworten »
leute, ich hab es kapiert!!!! ganz ganz schlimm vielen dank!!!!!!!!!!!!!

Neue Frage »

Antworten »

integrieren?

Verwandte Themen