Orthogonale Projektion (Definition von pi)

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07.10.2005, 00:22	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Projektion (Definition von pi) Hallo zusammen, kurz vor Semesterbeginn habe ich mich beschlossen, ein paar Aufgaben zu wiederholen. Dabei bin ich auf folgendes Problem gestoßen. Die Aufgabenstellung lautet: Sei $\begin{eqnarray} U \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ der von $\begin{eqnarray} a_1:=(1,2,1)^t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2:=(2,1,2)^t \end{eqnarray}$ erzeugte Unterraum. Sei $\begin{eqnarray} \pi : \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ---> $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ die Orthogonale Projektion. Wie ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ definiert? Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \pi (x) \end{eqnarray}$ für einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2,x_3)^t \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die Matrix $\begin{eqnarray} M=M_A(\pi) \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ aus (1) beschreibt. wie man an dem letzten Satz unschwer erkennen kann gab es auch noch einen ersten Aufgabenteil zu dieser Aufgabe. Meine Lösung dazu war... $\begin{eqnarray} a_3=(-1,0,1)^t \end{eqnarray}$ ist Basis von $\begin{eqnarray} U(hoch~senkrecht) \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} \{a_1,a_2\} \end{eqnarray}$ schon Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist, ist $\begin{eqnarray} \{a_1,a_2,a_3\} \end{eqnarray}$ Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ jetzt wieder zurück zum Problem.... Also ich weiß, dass jeder Vektor $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ besitz eine eindeutige Zerlegung $\begin{eqnarray} x=u+u' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u' \in U(hoch~senkrecht) \end{eqnarray}$ . Die Orthogonale Projektion $\begin{eqnarray} \pi : \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ---> $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist dann gegeben durch $\begin{eqnarray} \pi (x):=u \end{eqnarray}$ . In Formeln ist $\begin{eqnarray} \pi (x)=<x,w_1>w_1 + <x,w_2>w_2 \end{eqnarray}$ (weil $\begin{eqnarray} \{w_1,w_2\} \end{eqnarray}$ ON-Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist). Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \pi (x)=\frac{x_1+2x_2+x_3}{6} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac {x_1-x_2+x_3}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} =~??? \end{eqnarray}$ an der Stelle wo ich die Fragezeichen habe komme ich leider nicht mehr weiter. Würde mich freuen, wenn Ihr mir behilflich sein könntet. Schöne Grüße C.K.
07.10.2005, 06:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die schwierigsten Klippen meisterst du leicht - und jetzt weißt du nicht weiter? $\begin{eqnarray} \lambda \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda s_1 + \mu t_1 \\ \lambda s_2 + \mu t_2 \\ \lambda s_3 + \mu t_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
07.10.2005, 23:18	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Leopold, ich weiss nicht mehr, wie ich den Bruch mit dem Vektor multiplizieren soll. Bestimmt ist es leichter als alles andere an der Aufgabe aber ich komme einfach nicht drauf
07.10.2005, 23:20	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
... jede Komponente mit dem Bruch multiplizieren :-o
07.10.2005, 23:34	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
dann würde doch als erstes das raus kommen oder? $\begin{eqnarray} \pi(x)= \frac {x_1+4x_2+x_3}{6}+ \frac {x_1+x_2+x_3}{3} \end{eqnarray}$
07.10.2005, 23:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Bruch ist auch nur eine Zahl. Setze $\begin{eqnarray} \lambda=\frac {x_1+4x_2+x_3}{6} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu=\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \end{eqnarray}$ in Leopolds Formel ein. Gruß MSS
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08.10.2005, 00:15	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt da dann als ergebniss $\begin{eqnarray} \frac {1}{2} \begin{pmatrix} 2x_1+x_2+2x_3 \\ x_1+5x_2+x_3 \\ 2x_1+x_2+2x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus???
08.10.2005, 00:18	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider nicht. Zeig mal deine Rechnung. Gruß MSS
08.10.2005, 00:36	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe erst 1/6 + 1/3 zusammen addiert damit ich keinen bruch mehr habe. Dann erhalte ich ja 1/2 danach habe ich die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1+2x_2+x_3 \\ 2x_1+4x_2+2x_3 \\ x_1+2x_2+x_3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x_1-x_2+x_3 \\ -x_1+2x_2-x_3 \\ x_1-x_2+x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ausgerechnet und wenn ich das alles zusammen addiere dann erhalte ich das obige Ergebnis.
08.10.2005, 16:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber das wird jetzt peinlich. Wie Leopold schon sagte: Warum scheiterst du denn jetzt sogar noch am Bruchrechnen aus der 6. Klasse? Brüche addiert man, indem man sie auf ihren gemeinsamen Hauptnenner bringt und dann die Zähler addiert. $\begin{eqnarray} \frac {x_1+2x_2+x_3}{6}+\frac{x_1-x_2+x_3}{3}\neq \frac{1}{2}\left((x_1+2x_2+x_3)+(x_1-x_2+x_3)\right) \end{eqnarray}$ !!!! Gruß MSS
09.10.2005, 00:59	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich beide auf den gleichen Nenner bringe und addiere erhalte ich ja folgendes Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac {x_1+4x_2+x_3}{6}+ \frac {2x_1+2x_2+2x_3}{6}= \frac {3x_1+6x_2+3x_3}{6} \end{eqnarray}$ ist das richtig????
09.10.2005, 02:54	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen..also habe das ganze noch einmal ausgerechnet. für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ =1/6x1+4/6x2+1/6x3 und für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ =2/6x1+2/6x2+2/6x3 und wenn ich dann diese in die Gleichung einsetze, bekomme ich doch als Ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/6x1 & 4/6x2 & 1/6x3 \\ 2/6x1 & 8/6x2 & 2/6x3 \\ 1/6x1 & 4/6x2 & 1/6x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2/6x1 & 2/6x2 & 2/6x3 \\ -2/6x1 & -2/6x2 & -2/6x3 \\ 2/6x1 & 2/6x2 & 2/6x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/2x1 & x2 & 1/2x3 \\ & x2 \\ 1/2x1 & x2 & 1/2x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann sein ,dass ich irgendwo ein Rechenfehler habe....
09.10.2005, 02:59	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
kann leider nicht editieren.... habe zwischen den zahlen ein pluszeichen vergessen..
09.10.2005, 04:03	Heeelp	Auf diesen Beitrag antworten »
So Jhonnys, seit 2 tagen hin und her rechnen, glaube ich, dass richtige Ergebnis raus zu haben. Ich frage mich nur, warum Ihr "MATHE GENIES" mich nicht auf meinen Fehler aufmerksam gemacht habt. Wie man ja an meinen Beiträgen sehen kann habe ich den Vektor mit dem Zähler des Bruches multipliziert und dadurch ist der Vektor weggefallen was ja totaler Schwachsinn war. So hier meine Lösung..... wir bringen erst die Brüche auf den gleichen Nenner, ohne die Vektoren zu berühren $\begin{eqnarray} \frac {x_1+2x_2+x_3}{6} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac {2x_1-2x_2+2x_3}{6} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac {1}{6}x_1+ \frac {2}{6}x_2+ \frac {1}{6}x_3 \\ \frac {2}{6}x_1+ \frac {4}{6}x_2+ \frac {2}{6}x_3 \\ \frac {1}{6}x_1+ \frac {2}{6}x_2+ \frac {1}{6}x_3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \frac {2}{6}x_1- \frac {2}{6}x_2+ \frac {2}{6}x_3 \\ -\frac {2}{6}x_1+ \frac {2}{6}x_2- \frac {2}{6}x_3 \\ \frac {2}{6}x_1- \frac {2}{6}x_2+ \frac {2}{6}x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac {1}{2}x_1+ \frac {1}{2}x_3 \\ x_2 \\ \frac {1}{2}x_1+ \frac {1}{2}x_3 \end{pmatrix}= \frac {1}{2} \begin{pmatrix} x_1+x_3 \\ 2x_2 \\ x_1+x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ leider muss ich sagen, dass manche im Forum einen ganz schön in die Irre führen können weshalb ich mich leiber nicht hier registriere. Hoffe Ihr macht euren Job in Zukunft besser.... Gute Nacht und !!!!PEACE BROTHERS!!!

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