Abstand eines Punktes

07.10.2005, 09:43

Dani23

Abstand eines Punktes

Hallo,

könnte bitte jemand mal diese Aufgabe kontrollieren? verwirrt

Berechnen Sie den Abstand des Punktes z von der Gerdaden g und geben Sie die Lösung in Dezimalstellen an.

g: - 4x1 - 3x2 + 2 =0
z = (4,2)

Meine Ansätze:

$\begin{eqnarray*} \frac{a1}{\mid a \mid} \cdot x1 + \frac{a2}{\mid a \mid} \cdot x2 - \frac{b}{\mid a \mid} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid a \mid = \sqrt{x1^{2} + x2^{2}} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Formeln:

$\begin{eqnarray*} \mid a \mid = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{\sqrt{20}}\cdot 4 - \frac{3}{\sqrt{20}}\cdot 2 - \frac{2}{\sqrt{20}} = -\frac{16}{\sqrt{20}}- \frac{6}{\sqrt{20}}- \frac{2}{\sqrt{20}} = -\frac{24}{\sqrt{20}} \end{eqnarray*}$

Hatte es auch schon mal gerechnet da kam -6 raus aber ich weiß nicht mehr wie ich da drauf gekommen bin.

Danke!!

07.10.2005, 11:40

Cyrania

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Woher oder wie sind deine Formeln entstanden?

Für den Abstand habe ich herkömmlich mit Schulmathematik 4 LE berechnet.

y(=x2)=-4/3*x+2/3
Senkrechte durch P(4/2)
y=3/4*x-1
Gleichsetzen ergibt Schnittpunkt
S((4/5;-2/5)
Pythagoras ergibt:
a=4

07.10.2005, 12:04

Dani23

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Ach so ja stimmt so könnte man das auch lösen. Ist nur irgendwie so gar nicht unser Thema gewesen. Vielleicht hab ich irgendnen Zusammenhang nicht verstanden.

Muss es aber nicht y= - 3/4x + 1 heißen?

Und wie geht das mit dem Gleichsetzen nochmal?

07.10.2005, 13:24

Cyrania

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Muss nicht:

aus x2 habe ich zunächst y gemacht, damit es im zweidimensionalen Koordinatensystem verständlicher wird.

Dann wird die Senkrechte Gerade durch den Punkt ermittelt, weil der Abstand des Punktes zur Geraden ja das Lot ist.

Für den Anstieg einer senkrechten Gerade gilt: m1=-1/(m2)

Hier also m1=-1/(-4/3)=3/4
Durch Einsetzen des Punktes erhält man die Gleichung der senkrechten Geraden.

Die beiden rechten Seiten der Geradengleichungen werden gleichgesetzt und liefern den Fußpunkt des Lotes als Schnittpunkt der Geraden.

Und jetzt folgt nur noch Koordinatenvergleich der beiden Punkte über den Pythagoras.

Alles klar?

Aber bestimmt kommt man auch mit deiner Art oben weiter, nur kenne ich die nicht - mein Studium ist 30 Jahre her...

07.10.2005, 13:33

Dani23

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Ach so, ich habe die Gleichung durch umformen herausbekommen.

Aber ich sehe schon ich muss das Kapitel erst nochmal wiederholen.

Danke für deine ausführliche Erklärung... smile

07.10.2005, 13:49

Leopold

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Der Lösungsweg von Dani23 stimmt im Prinzip auch (Stichwort: HNF), allerdings ist er/sie zweimal "falsch abgebogen".

Es muß nämlich

$\begin{eqnarray*} \left| \vec{a} \right| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = 5 \end{eqnarray*}$

heißen. Und weiter unten braucht man Betragsstriche:

$\begin{eqnarray*} \text{Abstand} = \left| - \frac{4}{5} \cdot 4 \, \dots \, \text{usw.} \, \dots \right| \end{eqnarray*}$

07.10.2005, 13:54

Dani23

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Hallo Leopold,

den zweiten Fehler kann ich nachvollziehen aber wie kommst du auf die 5? Ach kann des sein dass ich für x1 und x2 die werte aus der Gleichung nehmen muss. Ich hab ja die Werte von dem Punkt eingesetzt....

07.10.2005, 14:41

Leopold

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Zitat:

Original von Dani23
Ach kann des sein dass ich für x1 und x2 die werte aus der Gleichung nehmen muss.

Das ist's! Deswegen habe ich auch $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ geschrieben. Das sind nämlich die Koordinaten eines Normalenvektors der Geraden.

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