Integrieren mit Substitution

Neue Frage »

10.04.2008, 21:35	Physie	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren mit Substitution Hallo ich möchte dieses Integral lösen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2 \pi}~xsin(x^2)cos(x^2)~dx \end{eqnarray}$ Meine Idee ist die, dass ich partiel Integriere und Substituiere. Und zwar so: $\begin{eqnarray} g(x)=sin(x^2)cos(x^2) \end{eqnarray}$ Dies ist meine partielle Integration: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2 \pi}~xg(x)~dx=[xG(x)]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}G(x)~dx \end{eqnarray}$ Nun muss ich noch das Integral von g(x) bestimmen. Dabei will ich so substituieren: $\begin{eqnarray} x^2=t=h(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{h(a)}^{h(b)}~g(t)\frac{dt}{h'(x)} \end{eqnarray}$ dann bekommen ich aber $\begin{eqnarray} \int_{h(a)}^{h(b)}~sin(t)cos(t))\frac{dt}{2x)} \end{eqnarray}$ das 2x stört mich, was hab ich falsch gemacht?? Eine andere Frage, wie muss ich denn bei unbestimmten Integralen vorgehen? Da kann ich ja nicht auf die Grenzen h(x) anwenden?? edit: Hab die partielle Integration mal korregiert, danke tmo
10.04.2008, 21:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Hast du die partielle Integration falsch angewendet und 2. führt dieser Weg wohl nicht zum Ziel. Denke mal dran, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray} h(x)=x^2 \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} h'(x)=2x \end{eqnarray}$ ist. Die Ableitung kommt also als Faktor vor. Welche Substitution bietet sich also an?
10.04.2008, 21:52	Physie	Auf diesen Beitrag antworten »
Stehe grad voll auf dem Schlauch! Ich weiß es nicht, sinnvoll wäre es wenn beii der Ableitung von h(x) kein x mehr existiert!! Aber wie soll ich das mahcen?
10.04.2008, 22:33	David II	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{dt}{dx} = 2x \end{eqnarray}$ Was ist als dx???
10.04.2008, 22:46	Physie	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} dx=\frac{dt}{2x} \end{eqnarray}$ aber das hilft mir doch nicht weiter, hab ich doch schon benutzt gehabt und komm damit nicht weiter. was soll ich denn mit dem x machen?
10.04.2008, 22:57	Physie	Auf diesen Beitrag antworten »
lol, bin ich blind, ich habs glaub ich jetzt, lösung kommt in 5 minuten danke euch
Anzeige

10.04.2008, 23:36	Physie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren mit Substitution Also: $\begin{eqnarray} \int_0^{\sqrt{\pi/2}}~xsin(x^2)cos(x^2)dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=cos(x^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=\frac{dt}{-2xsin(x^2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{\sqrt{\pi/2}}~xsin(x^2)cos(t)\frac{dt}{-2xsin(x^2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{\pi/2}}~cos(t){dt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\frac{1}{2}[\frac{1}{2}cos^2(x^2)]_0^{\sqrt{\pi/2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ so, nun müsste alles ok sein oder?
11.04.2008, 08:32	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren mit Substitution Was ist das bloß für ein Gehuddel! 1. Beim ursprünglichen Integral war die obere Grenze 2*pi, jetzt ist es Wurzel(pi/2). 2. Bei der Substitution machst du aus cos(x²) den Ausdruck cos(t) im Widerspruch zur angegebenen Substitution. 3. Die Integrationsgrenzen werden von dir nicht transformiert. 4. Die Substitution t=sin(x²) ist in meinen Augen etwas praktischer.
11.04.2008, 13:27	Physie	Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher Idiot hat solch ein scheiß hingeschrieben? Schande, schande!!! Das Ursprungsintegral sieht so aus: $\begin{eqnarray} \int_0^{\sqrt{\pi /2}}~xsin(x^2)cos(x^2)~dx \end{eqnarray}$ Die Substitution: $\begin{eqnarray} t=sin(x^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=\frac{dt}{2xcos(x^2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(0)=sin(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(\sqrt{\pi/2}=sin(\pi/2)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^1~xcos(x^2)t~\frac{dt}{2xcos(x^2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2}\int_0^1~t~dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2}[\frac{1}{2}t^2]_0^1=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-0)=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ So nun müsste es OK sein
11.04.2008, 13:49	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit bin ich einverstanden.

Neue Frage »

Antworten »

Integrieren mit Substitution

Verwandte Themen