Frage zum "S-Integral"

10.04.2008, 21:38	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum "S-Integral" Hallo ich hab mal ne Frage zu folgenden Rechenschritten, die ich nicht verstehe. (1.Semester Mathe) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~\int_{0}^{1}~\frac{dxdy}{1-xy} = 2\int~\int_{S}~\frac{dudv}{1-u^2+v^2} =4\int_{0}^{1/2}~\int_{0}^{u}~\frac{dvdu}{1-u^2+v^2}+4\int_{1/2}^{1}~\int_{0}^{1-u}~\frac{dvdu}{1-u^2+v^2} \end{eqnarray}$ Als Beschreibung steht dazu, dass (u,v)=((x+y)/2, (y-x)/2) gesetzt wurde, dann komme ich doch aber auf du/dx=1/2 und dv/dy=1/2, oder? Und somit stimmt die 2 vor dem Doppelintegral dann doch nicht. Oder wofür steht das S (Sqare???) Beim 2. schritt wurde geschrieben, das wegen der Symmetrie des Quadrats ABCD A(0,0) B(1/2,1/2) C(1,0) D(1/2/-1/2) zusammengefasst werden kann. Aber wie kommt man auf dieses Quadrat? Dankeschön, Speedy
11.04.2008, 16:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Integration über $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in [0,1] \end{eqnarray}$ im Doppelintegral kannst du auffassen als Integration über das Quadrat $\begin{eqnarray} S' \end{eqnarray}$ mit den Ecken $\begin{eqnarray} A'=(0,0), \, B'=(0,1), \, C'=(1,1), \, D'=(1,0) \end{eqnarray}$ . Das ist der Satz von Fubini, rückwärts angewandt. Mit Hilfe der Matrix $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \begin{pmatrix} \cos \left( - \frac{\pi}{4} \right) & - \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right) \\ \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right) & \cos \left( - \frac{\pi}{4} \right) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sieht man, daß durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Drehstreckung beschrieben wird. Das Quadrat $\begin{eqnarray} S' \end{eqnarray}$ wird also um 45° im Uhrzeigersinn gedreht und noch mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ vom Ursprung aus gestreckt. Um sich das vorstellen zu können, reicht es, die Ecken $\begin{eqnarray} A',B',C',D' \end{eqnarray}$ abzubilden. Im $\begin{eqnarray} uv \end{eqnarray}$ -Koordinatensystem erhält man die von dir genannten Punkte $\begin{eqnarray} A,B,C,D \end{eqnarray}$ als Ecken dieses Quadrates $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Nach der Substitutionsregel gilt nun $\begin{eqnarray} \int_{S'} \frac{\mathrm{d}(x,y)}{1-xy} = 2 \int_S \frac{\mathrm{d}(u,v)}{1 - u^2 + v^2} \end{eqnarray}$ Der Faktor $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ rührt von der Funktionaldeterminanten (genauer: deren Betrag) her: $\begin{eqnarray} \left\| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right\| = 2 \end{eqnarray}$ Um diese zu berechnen, mußt du die Transformationsgleichungen nach $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ auflösen, also mit anderen Worten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = T^{-1} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ berechnen. (Die Funktionalmatrix einer linearen Abbildung ist ja gerade die Abbildungsmatrix. Du kannst also auch schneller $\begin{eqnarray} \det(T) \cdot \det \left( T^{-1} \right) = 1 \end{eqnarray}$ benutzen.) Jetzt liegt das Quadrat $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ symmetrisch zur $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ -Achse. Andererseits ändert sich auch der Integrand nicht, wenn man $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} -v \end{eqnarray}$ ersetzt (das ist die Spiegelung an der $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ -Achse). Daher genügt es, über die obere Hälfte von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ - das ist also ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ - zu integrieren und den Integralwert dafür zu verdoppeln: $\begin{eqnarray} \int_{S'} \frac{\mathrm{d}(x,y)}{1-xy} = 4 \int_{\Delta} \frac{\mathrm{d}(u,v)}{1 - u^2 + v^2} \end{eqnarray}$ Wendet man Fubini auf die linke und rechte Hälfte von $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ an, bekommt man die von dir zitierte Formel.
11.04.2008, 16:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Wert des Integrals ist übrigens gerade $\begin{eqnarray} \zeta(2) \end{eqnarray}$ . Indem man das Integral ausrechnet, findet man $\begin{eqnarray} \zeta(2)=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray}$ , vgl. z.B. das BUCH der Beweise.

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