Sin/Cos berechnen

07.10.2005, 21:06

Gast,

Sin/Cos berechnen

Wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} Cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ich den Cosinus bzw. Sinus kenne, kann ich natürlich den jeweils anderen mit dem trigonometrischen Pythagoras berechnen.

07.10.2005, 21:26

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Zeichne ein gleichseitiges Dreieck, und darin eine Höhe. Dann müsstest du es sehen, wie man auf die Werte kommt.

07.10.2005, 21:58

Gast,

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Ok, und wie ist es bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{5} \end{eqnarray*}$ ,... ?
Gibt's da (möglichst einfache) Möglichkeiten, die Sinus- bzw. Cosinus-Werte genau zu bestimmen? Das mit dem Dreieck ist für den Spezialfall sehr anschaulich, aber wie kann man sich das allgemeiner überlegen?

07.10.2005, 22:52

sqrt(2)

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Für den Fall $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ kannst du mit $\begin{eqnarray*} \sin^2\frac{\pi}{4}+\cos^2\frac{\pi}{4}=1~\Lra~2\sin^2\frac{\pi}{4}=1 \end{eqnarray*}$ an die Sache herangehen.

Allgemein funktioniert das alles natürlich nicht. Taschenrechner etc. nähern da wohl mit den jeweiligen Potenzreihen.

07.10.2005, 23:05

Gast,

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Naja, aber es gibt doch Programme (z.B. Mathematica), die immer einen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ abhängigen Wert liefern

07.10.2005, 23:12

Mathespezialschüler

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Es gibt Formeln für doppelte, für dreifache und damit auch für halbe und Drittel-Winkel. Es gibt also z. B. eine Formel für $\begin{eqnarray*} \sin\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du dann aus $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ berechnen. Z. B. gilt

$\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ,

das kann man sich aber auch geometrisch klar machen mit einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck. Was man sich nicht unbedingt geometrisch erklären kann, ist

$\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{5}=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

07.10.2005, 23:14

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Da hast du einfach nicht weit genug probiert: Bei $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{7} \end{eqnarray*}$ liefert auch Mathematica keinen Wurzelausdruck mehr. Ist auch kein Wunder, denn dieser Winkel ist nicht konstruierbar.

EDIT: War natürlich an Gast gerichtet.

08.10.2005, 14:50

Gast,

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Hm, mir ist gerade eingefallen, dass man sich solche Ausdrücke ja eventuell mit den Additionstheoremen herleiten könnte. Hier mal mein Ansatz für $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{3}) \end{eqnarray*}$ (natürlich eine ziemlich umständliche Berechnung in diesem Fall, aber nur um das Prinzip zu zeigen : )
$\begin{eqnarray*} x:=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin3x=sin2x\; cosx+sinx\; cos2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin2x=2sinx\; cosx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos2x=cos^2x - sin^2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sin3x=2sinx\; cos^2x+sinx\; (cos^2x-sin^2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin^2x+cos^2x=1 \Rightarrow sin3x=0=3sinx-4sin^3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sinx=0 \lor sinx=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$
Könnte man das im Prinzip nicht genauso bei $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{7} \end{eqnarray*}$ machen (sin7x schrittweise auf sinx zurückführen und dabei cos... jeweils mit geeigneten formeln durch sinusterme ersetzen)?

08.10.2005, 19:20

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Wenn du damit meinst, dass $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{7} \end{eqnarray*}$ algebraisch ist, dann hast du zweifelsohne recht: Über das Ausmultiplizieren von

$\begin{eqnarray*} -1=e^{\pi i}=e^{7\cdot\frac{\pi}{7}i} = \left( \cos\frac{\pi}{7} + i \sin\frac{\pi}{7} \right)^7 \end{eqnarray*}$

und Ersetzen von $\begin{eqnarray*} \cos\frac{\pi}{7} = \sqrt{1-\sin^2\frac{\pi}{7}} \end{eqnarray*}$ kannst du $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{7} \end{eqnarray*}$ als Lösung einer algebraischen Gleichung darstellen. Das heißt aber noch lange nicht, dass es eine Darstellung mit Wurzelausdrücken dafür gibt!

08.10.2005, 19:58

Mathespezialschüler

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@Arthur
... je nachdem, wie man Darstellung durch Wurzeln definiert. Mit dem Weg, den Gast ansprach, habe ich herausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} x=\sin\frac{\pi}{7} \end{eqnarray*}$ Lösung folgender Gleichung ist:

$\begin{eqnarray*} 64x^6-112x^4+56x^2-7=0 \end{eqnarray*}$ .

Die Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$ bringt folgende kubische Gleichung

$\begin{eqnarray*} 64u^3-112u^2+56u-7=0 \end{eqnarray*}$

und diese ist ja nun mit den Cardanischen Formeln durch Radikale lösbar. Natürlich ist es so, dass wir uns dabei im Bereich der komplexen Zahlen bewegen und da ist es ja auch immer fraglich, um welche Wurzel es sich handelt. Aber man hat eine Radikaldarstellung, wenn auch nicht die gewünschte. Hammer

Denn wenn man das dann alles auseinanderfuselt, dann kommt man wieder zurück auf die trigonometrischen Funktionen, denn wir haben hier den dritten Fall, der bei Wikipedia angesprochen ist.

Gruß MSS

08.10.2005, 19:59

Cyrania

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Es ist schade, dass dem Einheitskreis heute so wenig Aufmerksamkeit gewidmet wird. Viele Werte lassen sich schnell und leicht damit ermitteln.

08.10.2005, 20:08

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@MSS

Ja, kann vielleicht sein, dass es bei $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{7} \end{eqnarray*}$ mit (allerdings nicht konstruierbaren) reellen Kubikwurzeln noch klappt. Dann nehmen wir halt $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{11} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{13} \end{eqnarray*}$ , da ist dann hoffentlich Schluss mit der Auflösbarkeit durch Radikale.

Aber Obacht: Z.B. $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{17} \end{eqnarray*}$ ist wieder darstellbar, sogar konstruierbar, wie der junge Gauß schon zeigte. smile

08.10.2005, 20:12

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{7} \end{eqnarray*}$ ist nicht durch eine Wurzel aus einer reellen Zahl darstellbar, aber durch eine aus einer komplexen Zahl, wie ich oben schrieb, und das ist, wie gesagt, nicht das Gewünschte. Augenzwinkern

Gruß MSS

edit: Was ist eine konstruierbare dritte Wurzel? verwirrt

08.10.2005, 20:15

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was ist eine konstruierbare dritte Wurzel? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8} \end{eqnarray*}$ Big Laugh

08.10.2005, 20:19

Mathespezialschüler

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Mir ist selbst grad eingefallen, dass du es im geometrischen Sinne meinst. Diese Dinge hängen ja sehr eng zusammen, leider kenn ich mich da gar nicht aus. Aber wie sieht das denn aus: Kann man z. B. $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{7} \end{eqnarray*}$ konstruieren?

Gruß MSS

08.10.2005, 20:23

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Darüber haben sich ja schon die alten Griechen den Kopf zerbrochen: Die konstruktive Volumenverdopplung eines Würfels (das wäre zwar $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ , aber das ist prinzipiell dasselbe) ist genau so unmöglich wie die Quadratur des Kreises.

08.10.2005, 20:26

Gast,

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@ MSS : Ich hatte das auch mal auf die Weise versucht, kam aber auf die etwas andere Gleichung (nach Substitution)
$\begin{eqnarray*} 0=7-56z+101z^2-69z^3 \end{eqnarray*}$
Überprüft habe ich diese aber nicht.
Zu deiner Gleichung : Der Fall 3 im Wikipedia-Link liefert mir drei reelle (genährte) Lösungen (Alle nach Wurzelziehen im Bereich 48.8). Das kann doch eigentlich nicht sein, oder habe ich mich da verrechnet?

08.10.2005, 20:29

Mathespezialschüler

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Also, diese ganzen Konstruktionsprobleme wurden ja alle dadurch gelöst, dass man sich überlegt hat, welche Größen man aus gegebenen Größen konstruieren kann, wenn ich das so richtig mitbekommen habe. Und dann ist es also so, dass man alles konstruieren kann, was man aus gegebenen Größen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzelziehen erhält? Alle anderen Operationen, z. B. das Ziehen einer dritten Wurzel lässt sich nicht geometrisch nachvollziehen, ist das so richtig?

edit: @Gast
Ich habe es überprüft, mein Polynom stimmt schon. Und deine Lösungen sind sicher nicht richtig.

.

Gruß MSS

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