beweis zu konvergenz komplexer folgen

08.10.2005, 14:23

lego

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beweis zu konvergenz komplexer folgen

hallo, ich wußte nicht, in welches forum ich das thema stellen sollte, es is aus funktionentheorie. sind da ganz am anfang und ham zur übung ein paar beispiele bekommen.

das erste bei dem ich nicht weiterkomme bzw. gar keinen richtigen zugang finde ist das hier:

gegeben sei eine folge $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ komplexer zahlen: $\begin{eqnarray*} z_n=a_n+i*b_n \end{eqnarray*}$

Man zeige: $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ ist konvergent, ganau dann wenn: $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ sind konvergent.

in diesem fall gilt: $\begin{eqnarray*} lim (z_n)=lim (a_n) +i*lim (b_n) \end{eqnarray*}$

08.10.2005, 15:05

Mathespezialschüler

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Schreib doch einfach mal die Definitionen auf. Und dann dürfte es nicht mehr so schwierig sein! Für $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ einfach die Dreiecksungleichung benutzen und für $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ beachten, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}w,\operatorname{Im}w\leq |w| \end{eqnarray*}$ gilt für jede komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

08.10.2005, 16:20

lego

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meinst du die definition für konvergenz?

08.10.2005, 16:21

Mathespezialschüler

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Ja, genau die.

Gruß MSS

08.10.2005, 16:44

lego

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ja ich habs mir mal angeschrieben, also mir ist klar an welcher stelle die dreiecksungleichung eingehen muss, aber das i bringt mich ein wenig durcheinander.

also ich weiß:

definition konvergenz ... $\begin{eqnarray*} \mid a_n-a\mid<Epsilon_1 \end{eqnarray*}$
definition konvergenz ... $\begin{eqnarray*} \mid b_n-b\mid<Epsilon_2 \end{eqnarray*}$

kann ich dann sagen:

$\begin{eqnarray*} \mid a_n-a\mid +i*\mid b_n-b\mid<(Epsilon_2+i*Epsilon_1) \end{eqnarray*}$

also mit dem größer und dem i muss man ja immer ein wenig aufpassen. oder ist dieser ansatz auch schon falsch?

08.10.2005, 17:58

therisen

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Zitat:

Original von lego
kann ich dann sagen:

$\begin{eqnarray*} \mid a_n-a\mid +i*\mid b_n-b\mid<(Epsilon_2+i*Epsilon_1) \end{eqnarray*}$

also mit dem größer und dem i muss man ja immer ein wenig aufpassen. oder ist dieser ansatz auch schon falsch?

Nein, das ist Humbug. Es gibt keine Anordnung der komplexen Zahlen. Du könntest z.B. mal $\begin{eqnarray*} \epsilon_1=\epsilon_2=\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ wählen und die beiden Ungleichungen dann einmal addieren...

Gruß, therisen

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08.10.2005, 19:17

Mathespezialschüler

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Du hast die Dreiecksungleichung falsch angewandt!! Für zwei komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} w_1,w_2 \end{eqnarray*}$ gilt die Dreiecksungleichung

$\begin{eqnarray*} |w_1+w_2|\leq |w_1|+|w_2| \end{eqnarray*}$ .

Beachte zunächst, dass $\begin{eqnarray*} |\operatorname iy|\neq \operatorname i|y| \end{eqnarray*}$ gilt, denn der Betrag einer komplexen Zahl ist eine reelle Zahl. Auf der rechten Seite steht aber keine reelle Zahl. Guck dir vor allem auch noch mal die Definition des Betrages an!! Und denke immer daran, dass du mit den komplexen Zahlen nicht so rechnen kannst wie mit reellen und dass es vor allem keine Ordnungsrelation auf den komplexen Zahlen gibt, die die der reellen erweitert!
Wir wenden jetzt die obige Dreiecksungleichung auf $\begin{eqnarray*} w_1=a_n-a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2=\operatorname i(b_n-b) \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} |z_n-z|=|a_n+\operatorname ib_n-a_n-\operatorname ib|=|a_n-a+\operatorname i(b_n-b)|\leq |a_n-a|+|\operatorname i(b_n-b)| \end{eqnarray*}$

Und jetzt berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} |\operatorname i(b_n-b)|=|0+\operatorname i(b_n-b)| \end{eqnarray*}$ mit der Formel, über die der Betrag einer komplexen Zahl definiert ist!

Gruß MSS

09.10.2005, 00:29

lego

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} |z_n-z|=|a_n+\operatorname ib_n-a_n-\operatorname ib|=|a_n-a+\operatorname i(b_n-b)|\leq |a_n-a|+|\operatorname i(b_n-b)| \end{eqnarray*}$

Und jetzt berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} |\operatorname i(b_n-b)|=|0+\operatorname i(b_n-b)| \end{eqnarray*}$ mit der Formel, über die der Betrag einer komplexen Zahl definiert ist!

Gruß MSS

ja in diese richtung hatte ich es genaus so, wusste aber nicht wie mir das helfen soll. außerdem wieso soll ich die dreiecksungleichung auf $\begin{eqnarray*} w=i*(b_n-b) \end{eqnarray*}$ anwenden, woher kommt das?

09.10.2005, 00:34

Mathespezialschüler

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Das sollst du doch gar nicht. Wie kommst du darauf? Du sollst den Betrag dieser Zahl berechnen!

Gruß MSS

09.10.2005, 12:45

lego

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hm, also:

$\begin{eqnarray*} \mid 0+ i*(b_n-b) \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sqrt{0^2+(b_n-b)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sqrt{(b_n-b)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =b_n-b \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit? und was mach ich jetzt damit? sry, wenn so aussieht, als würd ich mich blöd stellen aber ich weiß echt nicht

09.10.2005, 13:22

Mathespezialschüler

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Nein, du hast jetzt folgende Formel angewandt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x \end{eqnarray*}$ .

Diese stimmt aber nicht! Probiere sie doch einfach mal für $\begin{eqnarray*} x=-5 \end{eqnarray*}$ z. B..

Gruß MSS

09.10.2005, 13:38

lego

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ja, stimmt, danke, ich bin noch zu sehr in gedanken beim reellen, ich hoffe, das ändert sich bald.

kann ich den term dann überhaupt noch weiter vereinfachen?

also das $\begin{eqnarray*} \sqrt{(b_n-b)^2} \end{eqnarray*}$

09.10.2005, 17:27

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich!! Sollst du ja auch! Mein Beispiel sollte dir ja helfen, deine vorherige Gleichung zu verbessern. Es gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(b_n-b)^2}=|b_n-b| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt haben wir also insgesamt die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |z_n-z|\leq |a_n-a|+|b_n-b| \end{eqnarray*}$

und jetzt musst du benutzen, dass $\begin{eqnarray*} a_n\to a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n\to b \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

09.10.2005, 17:49

lego

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aha, wenn man sichs geometrisch vorstellt, ist eigentlich klar, dass $\begin{eqnarray*} \mid i*(b_n-b)\mid = \mid (b_n-b)\mid \end{eqnarray*}$

gut, dann ist also nochmal zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} |z_n-z|=|a_n+\operatorname ib_n-a-\operatorname ib|=|a_n-a+\operatorname i(b_n-b)|\leq |a_n-a|+|\operatorname i(b_n-b)|=\mid a_n-a\mid+\mid b_n-b\mid \end{eqnarray*}$

und nun sind $\begin{eqnarray*} \mid a_n-a\mid \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mid b_n-b\mid \end{eqnarray*}$ kleiner Epsilon wenn ich aus dem vom anfang schließe.

somit gilt, wenn $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann konvergieren $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit? dann muss ich jetz die andere richtung zeigen?

ok, ich habs mal versucht, sieht aus, als könnte man das ziemlich gleich machen wie umgekehrt:

ich starte einfach nur mit:

$\begin{eqnarray*} \mid a_n-a\mid<(Epsilon/2) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \mid b_n-b\mid<(Epsilon/2) \end{eqnarray*}$

beim addieren bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} <Epsilon \end{eqnarray*}$ dann wende ich die dreiecksungleichung an und eigentlich genau gleich wie in die andere richtung, stimmt das?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

09.10.2005, 17:57

Mathespezialschüler

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Du musst das schon noch etwas ordentlicher aufschreiben! Du musst nämlich zeigen, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |z_n-z|<\varepsilon\quad \forall\ n>n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

edit: Zu deinem Versuch der Rückrichtig. Da musst du ja beweisen, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon\quad \forall\ n>n_0 \end{eqnarray*}$ gilt bzw. das gleiche für $\begin{eqnarray*} |b_n-b| \end{eqnarray*}$ .
Du darfst deshalb $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ nicht voraussetzen, denn das willst du ja beweisen! Und die Dreiecksungleichung bringt dich hier nicht weiter, sondern eine Ungleichung, die ich in meinem ersten Post schon erwähnt habe.

Gruß MSS

09.10.2005, 18:03

lego

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ja stimmt, aber kann ich denn nicht in der ersten richtung das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ von der komplexen funktion für $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ benutzen und bei der 2ten richtung das $\begin{eqnarray*} max(n_{0a},n_{0b}) \end{eqnarray*}$ ?

09.10.2005, 18:11

Mathespezialschüler

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Du musst es genau andersrum machen! Bei der ersten nimmst du $\begin{eqnarray*} n_0=\max(n_0(a),n_0(b)) \end{eqnarray*}$ . Bei der zweiten nimmst du die Abschätzung aus meinem ersten Post und da kannst du das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ beibehalten.

Gruß MSS

09.10.2005, 18:17

lego

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das verstehe ich jetzt nicht, denn bei der ersten richtung kann ihc ja nur davon ausgehen, dass ich ein solches $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ für die komplexe folge habe, also kann ich doch diese dann für die 2 folgen, die dann entstehen hernehmen, oder nicht?

edit: hm, ich denke, wir reden immer von verschiedenen richtungen also wenn ich von der konvergenz von $\begin{eqnarray*} (a_n+i*b_n) \end{eqnarray*}$ ausgehe benutze ich $\begin{eqnarray*} \mid z\mid >=Re(z)/Im(z) \end{eqnarray*}$ und nehme das selbe $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wie bei $\begin{eqnarray*} (a_n+i*b_n) \end{eqnarray*}$

und andere richtung die dreiecksungleichung und das max

09.10.2005, 18:20

Mathespezialschüler

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Ja, richtig. Für $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ geht das. Ich hab das mit der ersten und der zweiten Richtung nur vertauscht, weil wir mit der Rückrichtung zu diskutieren angefangen haben.

Gruß MSS

09.10.2005, 18:22

lego

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ok, danke hat sich erledigt, habs oben gerade editiert, welche richtungen ich meinte.

hast mir wirklich sehr geholfen, danke schön

09.10.2005, 18:25

Mathespezialschüler

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Bitteschön. Dein edit sieht auch gut aus, was die Genauigkeit mit dem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ usw. angeht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

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