beweis zu konvergenz komplexer folgen

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lego Auf diesen Beitrag antworten »
beweis zu konvergenz komplexer folgen
hallo, ich wußte nicht, in welches forum ich das thema stellen sollte, es is aus funktionentheorie. sind da ganz am anfang und ham zur übung ein paar beispiele bekommen.

das erste bei dem ich nicht weiterkomme bzw. gar keinen richtigen zugang finde ist das hier:

gegeben sei eine folge komplexer zahlen:

Man zeige: ist konvergent, ganau dann wenn: und sind konvergent.

in diesem fall gilt:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib doch einfach mal die Definitionen auf. Und dann dürfte es nicht mehr so schwierig sein! Für einfach die Dreiecksungleichung benutzen und für beachten, dass gilt für jede komplexe Zahl .

Gruß MSS
 
 
lego Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du die definition für konvergenz?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau die.

Gruß MSS
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habs mir mal angeschrieben, also mir ist klar an welcher stelle die dreiecksungleichung eingehen muss, aber das i bringt mich ein wenig durcheinander.

also ich weiß:

definition konvergenz ...
definition konvergenz ...

kann ich dann sagen:



also mit dem größer und dem i muss man ja immer ein wenig aufpassen. oder ist dieser ansatz auch schon falsch?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lego
kann ich dann sagen:



also mit dem größer und dem i muss man ja immer ein wenig aufpassen. oder ist dieser ansatz auch schon falsch?


Nein, das ist Humbug. Es gibt keine Anordnung der komplexen Zahlen. Du könntest z.B. mal wählen und die beiden Ungleichungen dann einmal addieren...



Gruß, therisen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Dreiecksungleichung falsch angewandt!! Für zwei komplexe Zahlen gilt die Dreiecksungleichung

.

Beachte zunächst, dass gilt, denn der Betrag einer komplexen Zahl ist eine reelle Zahl. Auf der rechten Seite steht aber keine reelle Zahl. Guck dir vor allem auch noch mal die Definition des Betrages an!! Und denke immer daran, dass du mit den komplexen Zahlen nicht so rechnen kannst wie mit reellen und dass es vor allem keine Ordnungsrelation auf den komplexen Zahlen gibt, die die der reellen erweitert!
Wir wenden jetzt die obige Dreiecksungleichung auf und an:



Und jetzt berechne doch einfach mal mit der Formel, über die der Betrag einer komplexen Zahl definiert ist!

Gruß MSS
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler


Und jetzt berechne doch einfach mal mit der Formel, über die der Betrag einer komplexen Zahl definiert ist!

Gruß MSS


ja in diese richtung hatte ich es genaus so, wusste aber nicht wie mir das helfen soll. außerdem wieso soll ich die dreiecksungleichung auf anwenden, woher kommt das?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollst du doch gar nicht. Wie kommst du darauf? Du sollst den Betrag dieser Zahl berechnen!

Gruß MSS
lego Auf diesen Beitrag antworten »

hm, also:









stimmt das soweit? und was mach ich jetzt damit? sry, wenn so aussieht, als würd ich mich blöd stellen aber ich weiß echt nicht
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast jetzt folgende Formel angewandt:

.

Diese stimmt aber nicht! Probiere sie doch einfach mal für z. B..

Gruß MSS
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ja, stimmt, danke, ich bin noch zu sehr in gedanken beim reellen, ich hoffe, das ändert sich bald.

kann ich den term dann überhaupt noch weiter vereinfachen?

also das
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich!! Sollst du ja auch! Mein Beispiel sollte dir ja helfen, deine vorherige Gleichung zu verbessern. Es gilt nämlich

,

also

.

Jetzt haben wir also insgesamt die Ungleichung



und jetzt musst du benutzen, dass und gilt.

Gruß MSS
lego Auf diesen Beitrag antworten »

aha, wenn man sichs geometrisch vorstellt, ist eigentlich klar, dass

gut, dann ist also nochmal zusammengefasst:



und nun sind und kleiner Epsilon wenn ich aus dem vom anfang schließe.

somit gilt, wenn konvergiert, dann konvergieren und

stimmt das soweit? dann muss ich jetz die andere richtung zeigen?


ok, ich habs mal versucht, sieht aus, als könnte man das ziemlich gleich machen wie umgekehrt:

ich starte einfach nur mit:



und




beim addieren bekomme ich dann dann wende ich die dreiecksungleichung an und eigentlich genau gleich wie in die andere richtung, stimmt das?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst das schon noch etwas ordentlicher aufschreiben! Du musst nämlich zeigen, dass es zu jedem ein gibt, sodass gilt.

edit: Zu deinem Versuch der Rückrichtig. Da musst du ja beweisen, dass es zu jedem ein gibt, sodass gilt bzw. das gleiche für .
Du darfst deshalb nicht voraussetzen, denn das willst du ja beweisen! Und die Dreiecksungleichung bringt dich hier nicht weiter, sondern eine Ungleichung, die ich in meinem ersten Post schon erwähnt habe.

Gruß MSS
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt, aber kann ich denn nicht in der ersten richtung das von der komplexen funktion für und benutzen und bei der 2ten richtung das ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst es genau andersrum machen! Bei der ersten nimmst du . Bei der zweiten nimmst du die Abschätzung aus meinem ersten Post und da kannst du das beibehalten.

Gruß MSS
lego Auf diesen Beitrag antworten »

das verstehe ich jetzt nicht, denn bei der ersten richtung kann ihc ja nur davon ausgehen, dass ich ein solches für die komplexe folge habe, also kann ich doch diese dann für die 2 folgen, die dann entstehen hernehmen, oder nicht?

edit: hm, ich denke, wir reden immer von verschiedenen richtungen also wenn ich von der konvergenz von ausgehe benutze ich und nehme das selbe wie bei

und andere richtung die dreiecksungleichung und das max
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Für geht das. Ich hab das mit der ersten und der zweiten Richtung nur vertauscht, weil wir mit der Rückrichtung zu diskutieren angefangen haben.

Gruß MSS
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke hat sich erledigt, habs oben gerade editiert, welche richtungen ich meinte.

hast mir wirklich sehr geholfen, danke schön
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bitteschön. Dein edit sieht auch gut aus, was die Genauigkeit mit dem usw. angeht. Augenzwinkern

Gruß MSS
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