Monotonie rekursive Zahlenfolge

08.10.2005, 14:58

appletree

Monotonie rekursive Zahlenfolge

Hallo!

Ich bin neu hier und hab mal ne Frage: Es handelt sich um die rekursive Zahlenfolge a(n+1)=a(n)/(a(n)+2) wie kann ich bei dieser folge eine monotonie nachweisen? ich komm mir selber etwas dumm vor mit dieser frage, jedoch bringt mich das rekursive irgendwie durcheinander... ich bin für jede hilfe dankbar!

mfg
appletree

08.10.2005, 15:25

papahuhn

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Was ist $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ ?

Edit:
Du kannst folgende Aussage per Induktion beweisen, aber nur wenn der Induktionsanfang auch stimmt: $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : a_{n+1} > a_n \wedge a_n > 0 \end{eqnarray*}$

08.10.2005, 16:00

appletree

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a0 ist nicht gegeben sondern a1=3 aber inwiefern kann mir das bei einem beweis zur monotonie behilflich sein? mfg appletree

08.10.2005, 16:15

JochenX

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Zitat:

Original von appletree
a0 ist nicht gegeben sondern a1=3 aber inwiefern kann mir das bei einem beweis zur monotonie behilflich sein? mfg appletree

ob deine folge bei a_1 oder a_0 anfängt ist natürlich egal

einfaches beispiel:
foleg $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2*(a_n) \end{eqnarray*}$
du wirst schnell feststellen, dass diese foleg monoton fällt für a_1<0, abe monoton steigt für a_1>0
sie ist konstant 0 für a_1=0

das erste folgenglied ista lso schon wichtig für die konvergenz!

08.10.2005, 16:21

papahuhn

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Zitat:

Original von appletree
a0 ist nicht gegeben sondern a1=3 aber inwiefern kann mir das bei einem beweis zur monotonie behilflich sein? mfg appletree

Ok, dann fängts mit $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ an.
Kennst du vollständige Induktion?
Du stellst eine Familie von Aussagen $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ auf, und zeigst folgendes:
1. $\begin{eqnarray*} \exists n_0 : A(n_0)\ \text{wahr} \end{eqnarray*}$ . Es gibt eine Zahl $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass die Aussage $\begin{eqnarray*} A(n_0) \end{eqnarray*}$ wahr ist.
2. $\begin{eqnarray*} A(n) \rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$ . Wenn die Aussage $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ wahr ist, muss auch $\begin{eqnarray*} A(n+1) \end{eqnarray*}$ wahr sein.

Damit hast du gezeigt, dass alle Aussagen $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ ab dem Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wahr sind.

08.10.2005, 17:10

appletree

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vielen dank erstmal für die ganze hilfe...
ich kenne die vollständige induktion, weiß jedoch nicht so ganz wie ich sie für die monotonie einsetzen kann. könnte mir jemand vielleicht mal dieses beispiel vorrechnen, ich denke das wäre sehr hilfreich auch für zukünftige aufgaben smile

mfg
appletree

08.10.2005, 17:25

papahuhn

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Vorrechnen ist nicht, aber versuche es doch selbst für $\begin{eqnarray*} A(n) : a_{n+1} > a_n > 0 \end{eqnarray*}$ .

08.10.2005, 21:11

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Eine Alternative ist die direkte Angabe der expliziten Vorschrift für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , welcher man die Monotonie unmittelbar ansieht.

Zur Gewinnung einer solchen Vorschrift betrachte man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+2}{a_n} \end{eqnarray*}$ , oder noch deutlicher als Tipp geschrieben

$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{a_{n+1}} \right)= 2\left( 1+\frac{1}{a_n}\right) \end{eqnarray*}$ .

08.10.2005, 21:45

appletree

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für mich liegt das problem irgendwie darin, dass ich nicht abschätzen kann wie sich $\begin{eqnarray*} a(n) \end{eqnarray*}$ gegen unendlich verhält, weil ich dafür ja immer den vorherigen wert benötige!

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