Vollständige Induktion und Peano-Axiom

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papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion und Peano-Axiom
Hallo zusammen,
ich frage mich, warum die Aussage als fünftes Peano-Axiom verankert ist. Man muss doch nur die Allgemeingültigkeit der Aussage bzw. die Unerfüllbarkeit ihrer Negation zeigen.
Ich habe mich an die Negation gemacht, und endete schließlich damit, dass die Aussage nur wahr sein kann, wenn es unendliche absteigende Ketten natürlicher Zahlen gibt. Die gibt es ja nicht, aber liegt das vielleicht am Induktionsaxiom und ich merke es nicht?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das 5.Peano-Axiom (also das Induktions-Axiom) garantiert, dass es neben der mit den vorhergenden Peano-Axiomen bestimmten Kette



keine weitere, davon getrennte Kette natürlicher Zahlen gibt, wie z.B.



Du bist nur so "betriebsblind" bei den natürlichen Zahlen, dass du die Möglichkeit solcher nach den ersten vier Peano-Axiomen nicht ausgeschlossenen "Nebenstränge" gar nicht in Betracht gezogen hast!
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, da bin ich wirklich betriebsblind. Wie können die Ketten in deinem Beispiel voneinander unabhängig sein, wenn als Nachfolger von axiomatisiert ist? Dann fallen die beiden Ketten doch direkt zusammen.(?)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit 0' meine ich doch nicht den Nachfolger der Null, sondern irgendein anderes Element, das nicht in der Kette 0 -> 1 -> ... enthalten ist!!! Von mir aus nenne es auch , oder auch .


EDIT: Ein anderer Versuch dir das begreiflich zu machen, diesmal mit den dir vertrauten reellen Zahlen. Als "Nachfolger" von definieren wir dort wie üblich . Dann betrachte z.B. mal die Menge



Sie erfüllt die Peano-Axiome 1 bis 4, wie du leicht überprüfen kannst, trotzdem ist . Merkst du was?
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt hab ichs verstanden.
Die prädikatenlogische Aussage spiegelt eigentlich nicht wider, was als Erklärung dazu angegeben war. Und die trifft dein Beispiel genau.
Danke. smile

Edit:
Ich habe meine eigentliche Frage außer acht gelassen. Ergibt sich erst aus dem Induktionsaxiom, dass es keine unendlichen absteigenden Ketten in gibt?


Vielleicht sollte ich meinen "Beweis" doch mal anschreiben. Einen Moment bitte...




Jetzt hab ich mir gedacht, da gilt, darf ich wegen des Allquantors folgendes machen:
.

Hier sehen wir also, dass die Aussage falsch ist. Da allerdings wahr ist, gilt und wir können das Spielchen von neuem beginnen. Wo hat sich das Induktionsaxiom versteckt?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo papahuhn. Ich frage mich, ehrlich gesagt, gerade, was du beweisen willst. Das habe ich in dem Thread mMn noch nicht eindeutig gehört. Außerdem frage ich mich, was ist!?
Desweiteren ist dein "Beweis" (wofür auch immer) für mich sehr unübersichtlich. Ich hätte gern ein paar mehr Klammern für die Eindeutigkeit und desweiteren denke ich, dass du Fehler eingebaut hast, den ersten mMn schon bei der Negation von .

Gruß MSS
 
 
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

sollte einfach das Induktionsaxiom in prädikatenlogischer Form sein. Im Grunde möchte ich zeigen, dass die Annahme, sei falsch, zu einem Widerspruch führt, nämlich dass es unendliche absteigende Ketten natürlicher Zahlen geben muss.
Ich hab zum besseren Verständnis ein paar Klammern hinzugefügt, und die dritte Umformung wieder gelöscht, da sie eigentlich nicht nötig war. Die Negation scheint mir nach nochmaligem Hingucken immer noch richtig zu sein. Wo hakt es denn?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich sehe jetzt, was du meinst. Ich dachte, du wolltest etwas anderes negieren. Es ist also kein Fehler drin. Augenzwinkern

Gruß MSS
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habs verstanden.
Es kann nämlich sein, dass keinen Vorgänger hat, obwohl falsch ist. In diesem Fall ist der Anfang eines parallelen Strangs zum 0-Strang. In Arthurs Beispiel wäre das dann die . smile
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