Reele Zahlen mit oder ohne die Null?

08.10.2005, 21:32

mathefreakjan

Reele Zahlen mit oder ohne die Null?

Hallo,

meine Frage bezieht sich auf das Bild!

normalerweise hab ich das so gelernt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb No \end{eqnarray*}$ ... das steht für die Natürliche Zahlen MIT 0
$\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ... das steht für die Natürliche Zahlen OHNE 0

$\begin{eqnarray*} \mathbb R+ \end{eqnarray*}$ .... wenn das so steht, sind das die Reelle Zahlen mit oder ohne die NULL???
Oder wenn da R steht, ist da auto. inkl. die NULL???

08.10.2005, 21:37

mathefreakjan

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Die Erste Aufgabe hab ich so bewiesen:

a,b € R+ => (a+b)²/4 >= a*b

Beweis:

a,b € R+

(a+b)² >= 0 => (1/4)* (a+b)² >= 0

a*b >= 0

(1/4)* (a+b)² = (1/4) * (a²+2*a*b+b²)

2*a*b > a*b

=> (a²+2*a*b+b²) >= a*b

=> (1/4)* (a+b)² >= a*b

... fertig

08.10.2005, 22:37

JochenX

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Zitat:

=> (a²+2*a*b+b²) >= a*b

=> (1/4)* (a+b)² >= a*b

nach dem motto: x>y, also ist auch 1/4x > y?

stimmt so wohl nicht

zu deiner frage: IR+ ist nicht die menge aller reellen zahlen ohne die 0.
es ist soagr noch viel weniger: es ist die menge aller positiven reellen zahlen

08.10.2005, 23:00

mathefreakjan

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Zitat:

zu deiner frage: IR+ ist nicht die menge aller reellen zahlen ohne die 0.
es ist soagr noch viel weniger: es ist die menge aller positiven reellen zahlen

ja sorry ..ich wollte damit sagen... IR+ ist das die positive reelle Zahlen MIT oder OHNE 0 ??

Und jetzt zu dem Beweis Aufgabe:

Zitat:

nach dem motto: x>y, also ist auch 1/4x > y?

stimmt so wohl nicht

warum soll das nicht gehen???

(1/4) > 0

wenn a > b ist => (1/4)* a > b ...... oder nicht?? ... das ist doch logisch??

08.10.2005, 23:25

JochenX

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2>1 okay?
1/4*2>1 auch noch okay?

09.10.2005, 12:49

lego

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Zitat:

Original von mathefreakjan
ja sorry ..ich wollte damit sagen... IR+ ist das die positive reelle Zahlen MIT oder OHNE 0 ??

also ich denke dass die null nicht dabei ist, sonst würde $\begin{eqnarray*} \mathbb R_0+ \end{eqnarray*}$ stehen

09.10.2005, 14:01

Lazarus

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ja die null ist nicht dabei denn sonst müsste es in der tat " $\begin{eqnarray*} \mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ " heissen.

@ lego:aber schreib doch bitte \mathbb R anstelle von IR .. sieht doch grausam aus !

09.10.2005, 14:04

lego

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ja, habs gerade im formeleditor entdeckt, ich machs weg smile

09.10.2005, 14:45

mathefreakjan

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ohh... hab mir ein Buch ausgeliehen und da steht:

IR* .... für alle x € R und x ungleich = 0

sonst wenn da kein Stern steht, ist die NULL immer dabei???
Woher habt ihr eure Definitionen??
Ist das Buch etwa mit Fehlern??

09.10.2005, 14:48

JochenX

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Zitat:

Original von LOED
2>1 okay?
1/4*2>1 auch noch okay?

hallo mathefreak, dass hier steht noch zur diskussion
wie du siehst ist dein beweis so also nicht richtig

zur sache mit den schreibweisen: da kann man im endeffekt jede schreibweise verwenden, solange sie klar und definiert ist
also zur not irgendwo vermerken $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{*}=\mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ und alles ist okay

09.10.2005, 18:02

mathefreakjan

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...fertig ...

PS: .... ach noch was.. wie kann man das einstellen, dass man beim Edit, Antwort oder Neues Thema direkt in erweiterte EDITOR landet und nicht jedes Mal von Standard umschalten muss????

09.10.2005, 18:13

Mathespezialschüler

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Multiplikation mit 4 ist richtig. Danach auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} -4ab \end{eqnarray*}$ und dann wieder die binomische Formel anwenden!

Gruß MSS

09.10.2005, 18:55

mathefreakjan

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das sieht aber jetzt komisch aus irgendwie .... verwirrt

meinstest du das sooo???

09.10.2005, 18:58

Mathespezialschüler

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Ja, dass das gilt, ist ja klar, weil jedes Quadrat einer reellen Zahl nichtnegativ ist. Jetzt musst du noch begründen, dass alle Umformungen äquivalent waren.

Gruß MSS

09.10.2005, 19:38

mathefreakjan

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a,b € R+ => $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{4} \geq a * b \end{eqnarray*}$

Beweis:

a,b € R+

(a+b)² $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0
4 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0
a*b $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

(a+b)² = a²+2*a*b+b²
2*a*b $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ a*b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a²+2*a*b+b² $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ a*b

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{4} \geq a * b \end{eqnarray*}$ | alles mal 4 nehmen

= (a+b)² $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4*a*b | - 4*a*b

= (a-b)² $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

Jetzt setzen wir in a und in b zwei beliebige ganze Zahlen ein
a = 1, b= -2

1. (a-b)² $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 => 9 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

2. (a+b)² $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4*a*b => 1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ -8

3. $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{4} \geq a * b \end{eqnarray*}$ => (1/4) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ -2

Wir nennen den linken Teil der Aufgabe mit X und die rechte mit Y ...
in alle 3 Fällen ist X $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ Y => die sind ÄQUIVALENT

Da alle ... (a-b)² $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 <=> (a+b)² $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4*a*b <=> $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{4} \geq a * b \end{eqnarray*}$ .... äquivalent sind

daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{4} \geq a * b \end{eqnarray*}$ WAHR ist!!

@ENDE@ .... ich hoffe, dass das endlich RICHTIG ist

PS: .... ach noch was.. wie kann man das einstellen, dass man beim Edit, Antwort oder Neues Thema direkt in erweiterte EDITOR landet und nicht jedes Mal von Standard umschalten muss???

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