Wahrscheinlichkeitsberechnung

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Nichtswisser Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsberechnung
Hallo zusammen!
Habe im Internet schon oft vom Geburtstagsproblem gelesen. Habe nun eine ähnliche Aufgabe bin allerdings am Verzweifeln.
Aufgabe: Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Raum mit n Leuten mindestens zwei direkt hintereinander Geburtstag haben. (ohne Schaltjahr und es ist an jedem Tag gleich wahrscheinlich Geburtstag zu haben)

Für n=2 is die Lösung noch recht einfach (glaub ich zumindest)
P(n=2)= \frac{365*2}{365²}
Aber schon bei n=3 bin ich hilflos und ich soll eine allgemeine Formel entwickeln ...

Ich wäre für jede Hilfe dankbar!
Cyrania Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde nicht unbedingt mit n=2 beginnen.

und nacheinander aufstellen:

Wie viele Möglichkeiten hast du, zB. 10 (n=10) Kugeln auf 365 Plätze zu verteilen, wenn die zweite Kugel neben(hinter) der Ersten liegen soll?
Für die erste Kugel?
Für die zweite Kugel?
Wie sieht es aus, wenn du beide nebeneinander legst? Du hättest ja dann nicht mehr 365 Möglichkeiten für die erste Kugel, weil die Zweite noch daneben( links oder rechts) passen muss!
nun für die dritte Kugel (zwei Plätze sind belegt)
......
Nichtswisser Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle antwort, ich habe es auch schon versucht mir so vorzustellen. Allerdings hat man für die erste Kugel immernoch 365 möglichkeiten. Nehmen wir an sie liegt an der 365. Stelle ist ja die 1. Stelle "neben dran" (wenn jemand am 31. dezember und der andere am 1. januar hat haben sie ja auch hintereinander geburtstag)
Bei der Lösung bin ich aber immernoch auf einige Probleme gestoßen:
Nehme ich an die erste Kugel hat 365 mögliche plätze dann hat die zweite Kugel genau zwei möglichkeiten, nämlich davor oder dahinter.
Ist eine dritte Kugel im Spiel hat diese dann natürlich wieder 365 möglichkeiten, weil es ja egal ist an welche Position sie nun ist. Diese Lösung kann allerdings nicht richtig sein, da wenn die letzte Kugel mit ihren 365 möglichkeiten zufällig schon neben der ersten ist hätte die zweite auch 365 möglichkeiten. (so habe ich es mir zumindest gedacht)

Meine Idee war jetzt das Jahr auf 6 Tage zu reduzieren und das ganze mit 3 Personen zu betrachten. Ich habe mir alle möglichen aufgeschrieben und die günstigen eingekreist. Ich bin auf 6³ mögliche und 144 günstige gekommen. Anhand dieser Überlegung bin ich dann auf folgende Ergebnis gekommen:
Die erste Kugel hat 6 möglichkeiten, der zweiten gebe ich nur 3, das heißt sie darf weder davor, noch dahinter, noch die gleiche position der ersten haben, die dritte hat demnach 4 möglichkeiten, um die bedingung zu erfüllen. ODER die erste kugel hat wieder 6 möglichkeiten, die 2. hat 2 möglichkeiten (davor oder dahinter) und die letzte wieder 6, das heißt:

P(n=3 bei 6 möglichen Tagen)=
dabei kommt tatsächlich 144/6³ raus.
Das heißt analog dazu müsste das Ergebnis für n=3 bei 365 möglichen Tagen
P(n=3 bei 365 möglichen Tagen)=
Ist das Ergebnis richtig?
Kann ich von dem Ergebnis irgendwie auf das Ergebnis mit 4 Kugeln schließen?
Wie komme ich auf eine allgemeine Formel?

Danke schonmal für eure Hifle!
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