Beweis von sin'(x) -Fragen!

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molo Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von sin'(x) -Fragen!
Hallo zusammen,

es muss doch möglich sein, die Ableitungsfunktion einer jeden Funktion mithilfe des Differenzenquotienten zu ermitteln.

Ich wollte dies bei sin/cos Funktionen machen und das wirft einige Fragen auf.

Bei f(x)=sin(x) sieht die letzte Zeile meines Differenzenquotienten so aus:



1. Wenn ich jetzt h gegen 0 laufen lasse, ist der zweite Bruch doch undefiniert, weil durch 0 geteilt wird. Das wirkt sich doch auf den ersten bruch auch aus, weil zwischen beiden multipliziert wird.
Im Endeffekt ist die Ableitungsfunktion doch bei h=0 undefiniert oder?


Nun zur 2. Frage: Ich wollte nun beweise, dass sin'(3x)= 3cos(3x) ist.

Am Ende steht folgendes:



2. Wenn ich jetzt wie bei 1. den Diff-Quotienten mit 3 kürzte, würde die 3 vor cos wegfallen, sodass das gewünschte Ergebnis ( 3(cos(3x) ) nicht erreicht würde.
Wenn ich nicht kürze, habe ich jeden auch nichts davon, denn vor dem cos steht eine 2 und nicht wie gewünscht eine 3.
Wie kann ich nun erreichen, dass dort die 3 vor steht?

3. Selbst wenn eine 3 vor dem cos stünde: Es bliebe immer noch das Problem mit h gegen 0, dass dann der Ausdfruck undefiniert wäre.


Hoffe, dass ihr mir bei den 3 Fragen helfen könnt.

Danke im Voraus
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein bereits bekannter Übergang mit Grenzwert 1.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe für das *-Zeichen «\cdot» und nicht «\times», weil letzteres die Vektormultiplikation (Vektorprodukt) darstellt!
Cyrania Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Dinge sind zu beachten:

f(x)=sin3x ist zusammengesetzt. Du kannst nicht einfach nur trigonometrisch umformen, sondern musst hinterher noch mit der inneren Ableitung 3 multiplizieren.

Der Grenzwert von sin(x)/x ist mit 1 anzunehmen und in diesen Aufgaben immer getrennt zu betrachten.
Wenn du möchtest, schreibe ich dir die Herleitung dazu(zur 1) auf.
molo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyrania

Der Grenzwert von sin(x)/x ist mit 1 anzunehmen und in diesen Aufgaben immer getrennt zu betrachten.
Wenn du möchtest, schreibe ich dir die Herleitung dazu(zur 1) auf.


Das wär wirklich nett.


Und: könnte jmd. vielleicht detailliert die zusammengesetzte Fkn (sin(2x)) per Differenzenquotienten aufführen?

Wär wirklich nett
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von molo
Zitat:
Original von Cyrania

Der Grenzwert von sin(x)/x ist mit 1 anzunehmen und in diesen Aufgaben immer getrennt zu betrachten.
Wenn du möchtest, schreibe ich dir die Herleitung dazu(zur 1) auf.


Das wär wirklich nett.


Und: könnte jmd. vielleicht detailliert die zusammengesetzte Fkn (sin(2x)) per Differenzenquotienten aufführen?

Wär wirklich nett

das würde dir nicht so viel bringen, wie wenn du es selbst versuchst, molo

schreibe doch erst mal je auf, wie weit du kommst, dann können wir (z.b. cyrania) dir weitere tips geben, wie du fortfahren musst
das ist zu übungszwecken viel sinnvoler als vorrechnen

für den grenzübergang von sin(x)/x [x gegen 0] z.b das stichwort: satz von del'hospital anwenden
 
 
Cyrania Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gerade versucht, hier Funktionen zu zeichnen, es ist mir noch nicht gelungen.

Deshalb zunächst der Tipp:

Zeichne
f1(x)=1
f2(x)=sin(x)/x
f3(x)=cos(x) im Intervall von -pi/2 bis pi/2.


Was kannst du für kleine Werte von x über f2 aussagen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Als Hilfe für Cyrania



Zitat:
Original von LOED
für den grenzübergang von sin(x)/x [x gegen 0] z.b das stichwort: satz von del'hospital anwenden

*lol* Du bust ja lustig, Jochen! Big Laugh
Erstens denke ich, dass molo davon noch nie was gehört hat und zweitens, was aber noch viel wichtiger ist: molo möchte doch grad die Ableitung des Sinus erstmal herleiten, da kann sie die doch nicht benutzen! Augenzwinkern

Gruß MSS
Cyrania Auf diesen Beitrag antworten »

Au fein, wie bekomme ich denn die Bildchen hier rein?

Ich hab sie schon mit dem Plotter gezeichnet, aber dann stand nicht dran, wies geht. traurig


So, molo, schau auf die Graphen. f2 liegt zwischen f1 und f3.
Man kann also davon ausgehen, dass f2<f1=1 ist.
Weiterhin gilt:f3<f2
Der Grenzwert von f3 für x gegen 0 geht aber auch gegen 1 und es folgt:




Ein paar Zwischenschritte hab ich weggelassen. Jetzt bist du dran, die Sache nachzuvollziehen.


Für die Herleitung von sin(3x) über den Differentialquotienten benötigt man goniometrische Umformungen. Kommst du damit klar?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyrania
Au fein, wie bekomme ich denn die Bildchen hier rein?.

"zitat" von MSS beitrag und du siehst es
so lernst du hier sowieso viele dinge am schnellsten


@mss: Hammer autsch, danke
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Cyrania
Guck mal hier. Augenzwinkern

Gruß MSS

edit: @LOED
Hammer
Cyrania Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Hammer Hammer

Danke, Ihr zwei!!!
molo Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Grafik zeigt zwar, dass sin(0)/0=1 ist, aber das ist doch wohl ein Widerspruch: Denn für a/b ist b=0 nicht definiert. Oder habe ich die 6. klasse verschlafen? smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

es geht hier nicht um sin(0)/0
es geht um den grenzwert von x gegen 0 sin(x)/x, d.h. x strebt gegen 0, ist aber immer UNGLEICH 0, denn für x=0 ist das (korrekt!) nicht definiert
Cyrania Auf diesen Beitrag antworten »

wäre dann nach deinem Sechstklasswissen nicht definiert, oder was.

Wir reden vom Limes, nicht vom Quotienten. Grafisch betrachten untersuchen wir den Bereich der Funktion, für den x gegen 0 geht, aber nicht 0 wird.
Tippe doch einmal auf deinem Rechner mit Einstellung rad
sin(0,001)/0,001....

Im Plotter kann man die Definitionslücke meist nicht sehen und nicht zeichnen.


Übrigens hätte ich deinerseits jetzt eher auf die Frage gewartet, warum cos(x)<sin(x)/x<1 ist.

Für diesen Sachverhalt, den ich einfach vorausgesetzt habe, braucht man nämlich "etwas Einheitskreis mit dem Winkel x" smile
molo Auf diesen Beitrag antworten »

also ich glaube ich hatte ne falsche vorstellung zur limesbetrachtung.
ich meinte immer, dass sie bedeute,dass wir die annäherung von sekante und tangente betrachten, dass also der 2. punkt der sekante immer näher in richtung vom 1. punkt geht und schließlich zur tangente wird, was gleichbedeutend mit der steigung im 1. punkt ist.

wenn man dann für f(x0)-f(x) / x-x0 die x-stelle des 1. punktes einsetzt hat man doch auch einen undefinierten nenner. daher, so dachte ich, wendet man polynomdivision an oder kürzt den nenner raus.
Cyrania Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht verwechseln !

Differenzenquotient - Sekante (Sehnenlänge)

Differentialquotient - Tangente (Punkt )

sin(x)/x wird hier speziell um den Nullpunkt herum betrachtet- also für x-Werte die gegen 0 streben, nicht eigentlich als Differentialquotient....was sicher auch möglich wäre...



Nenner rauskürzen ist übler Sprachgebrauch - man lässt sich etwas einfallen.. smile
molo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyrania


sin(x)/x wird hier speziell um den Nullpunkt herum betrachtet- also für x-Werte die gegen 0 streben, nicht eigentlich als Differentialquotient....was sicher auch möglich wäre...


und warum ergibt diese Betrachtung für 0=1? Das verstehe ich nicht!

Die Limesbetrachtung zeigt doch den Grenzwert auf, also die Stelle, an der die Fkn UNstetig ist
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