nach x auflösen...

10.10.2005, 12:33

schrawenzel

nach x auflösen...

Hallo Leute! Wink

Hab mal ne Frage:
Kann ich das mit Schulmathematik (LK, 13. Klasse) auflösen?
Ich komm irgendwie nicht drauf..... verwirrt

ln(x+1)=(x/(x+1))

Sry, habsm it Latex versucht, ging aber nicht.....

Danke schon mal!

schrawenzel

10.10.2005, 12:41

papahuhn

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RE: nach x auflösen...
Ich glaube, für $\begin{eqnarray*} ln(x+1) = \frac {x}{x+1} \end{eqnarray*}$ gibt es keinen analytischen Lösungsweg, aber eine einfache Lösung, die man vielleicht durch hingucken herausbekommt. Leider weiss ich auch nicht, ob es die einzige ist.

10.10.2005, 12:42

Mathespezialschüler

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Verschoben

Nein, kannst du nicht. Es gibt aber nur eine Lösung und die kann man leicht erraten.

edit: @papahuhn
Einen analytischen Weg gibt es schon. Der benutzt aber eine Funktion, die in der Schule nicht behandelt wird.

Gruß MSS

10.10.2005, 12:57

papahuhn

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Wahrscheinlich mit LambertW? Der Lösungsweg würde mich mal interessieren.

10.10.2005, 13:00

brunsi

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mich allerdings auch. wie würde das im konkreten Fall denn aussehen @ Max?

Kannste bitte mal dort nen Lösungsweg skizzieren?

10.10.2005, 13:07

Mathespezialschüler

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Ja, mit LambertW. Für $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \ln(x+1)=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x+1=\operatorname e^{1-\frac{1}{x+1}}=\operatorname e\cdot \operatorname e^{-\frac{1}{x+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -\frac{1}{\operatorname e}=-\frac{1}{x+1}\operatorname e^{-\frac{1}{x+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -\frac{1}{x+1}=\mathrm W\left(-\frac{1}{\operatorname e}\right)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

10.10.2005, 13:14

papahuhn

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{\operatorname e}=-\frac{1}{x+1}\operatorname e^{-\frac{1}{x+1}} \end{eqnarray*}$

Muss da nicht $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow - \frac{1}{\operatorname e}=-\frac{1}{x+1}\operatorname e^{-\frac{1}{x+1}} \end{eqnarray*}$ hin?

Ist $\begin{eqnarray*} W(- \frac 1 e) = W(\frac 1 e) \end{eqnarray*}$ ?

10.10.2005, 13:16

Mathespezialschüler

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Hast Recht, danke! Schon geändert.
Nein, es gilt nicht $\begin{eqnarray*} \mathrm W\left(\frac{1}{\operatorname e}\right)=\mathrm W\left(-\frac{1}{\operatorname e}\right) \end{eqnarray*}$ , aber das Minus hatte ich an beiden Stellen vergessen, also Abschreibfehler. Soll heißen:

$\begin{eqnarray*} \mathrm W\left(-\frac{1}{\operatorname e}\right)=-1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \mathrm W\left(\frac{1}{\operatorname e}\right) \end{eqnarray*}$ ist eine ganz andere Zahl.

Gruß MSS

10.10.2005, 13:21

papahuhn

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Wo kann man solche Werte nachgucken? Ich bekomme mit Maple nichtmal eine Approximation von $\begin{eqnarray*} W(- \frac 1 e) \end{eqnarray*}$ hin, und am Graphen kann ich nicht viel erkennen.

Edit: Hat sich erledigt. Wenn ich das als $\begin{eqnarray*} -exp(-1) \end{eqnarray*}$ notiere, geht es.(!?)

10.10.2005, 13:23

Mathespezialschüler

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Das braucht man nicht nachgucken. Das kann man ganz einfach mit einer Kurvendiskussion beweisen. $\begin{eqnarray*} \mathrm W(x) \end{eqnarray*}$ ist ja die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f(y)=y\operatorname e^y \end{eqnarray*}$ . Und für $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\operatorname e}=-\operatorname e^{-1}=y\operatorname e^y \end{eqnarray*}$ ist natürlich erstmal $\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$ eine Lösung und dass es keine weiteren gibt bekommt man, wie gesagt mit der Kurvendiskussion.

Gruß MSS

10.10.2005, 13:24

papahuhn

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Ok, danke!

10.10.2005, 13:29

mercany

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Hätte vielleicht jemand mal einen Link oder Ähnliches, wo ich nen bischen was über LambertW nachlesen kann?!

Gruß, mercany

10.10.2005, 13:34

Mathespezialschüler

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Einfach mal googlen, ich hab das und das auf Anhieb gefunden.

Gruß MSS

10.10.2005, 13:39

mercany

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Ich auch.... Aber ich dachte eher an etwas deutschsprachiges! smile

10.10.2005, 13:40

Mathespezialschüler

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Ich dachte, du könntest Englisch! Augenzwinkern

Was deutsches ist da in der Tat nicht einfach zu finden.

Gruß MSS

10.10.2005, 13:45

mercany

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Ja, klar kann ich Englisch smile

Jedoch ist es doch im deutschen immer weitaus einfacher zu verstehen!
Bei mir auf jeden Fall.

Naja, dann werd ich mal suchen....
Falls jemand anderes noch einen interessanten (deutschen) Link hat bzw. vielleicht nen Ausschnitt aus einem Buch oder so zur Verfügung stellen könnte, wäre ich sehr dankbar.

Gruß, mercany

10.10.2005, 13:46

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@schrawenzel

Man kommt auch ohne LambertW aus, und zwar durch Betrachten von

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x+1)-\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

Klar ist f(0)=0. Die erste Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ zeigt nun, dass die Funktion f für x<0 streng monoton fallend, und für x>0 streng monoton wachsend ist. Also kann es neben x=0 keine weitere Nullstelle von f geben.

P.S.: Als "Nebenprodukt" dieser Betrachtung fällt dabei übrigens die Ungleichung $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ , d.h.,

$\begin{eqnarray*} \ln(x+1) \geq \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

für alle x > -1 ab.

10.10.2005, 15:26

schrawenzel

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Stimmt^^

DANKE Tanzen

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