unerklärte Funktionen - was könnte das sein? (Funktionentheorie)

11.04.2008, 10:58	Unkraut	Auf diesen Beitrag antworten »
unerklärte Funktionen - was könnte das sein? (Funktionentheorie) Hallo! Hab gerade das erste Übungsblatt der Funktionentheorie-Vorlesung vor mir, zu finden unter: http://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS08XX85762.pdf. Die letzte Aufgabe verstehe ich nicht. Sei $\begin{eqnarray} T^: \mathbb{C}_0 \to \mathbb{C}_0 & \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} & T^* (z)=\frac{1}{\overline{z}} &\forall z \in \mathbb{C}\backslash \{0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} & T^(0)=\infty,&T^(\infty)=0. \end{eqnarray}$ (i) Sei $\begin{eqnarray} \sigma^* \end{eqnarray}$ die Spiegelung der Einheitssphäre an der Äquatorebene. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} T^=\pi \circ \sigma^ \circ \pi^{-1}. \end{eqnarray}$ (ii) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \chi(T^(z_1), T^(z_2))=\chi(z_1, z_2) & \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}_0. \end{eqnarray}$ Zur Erläuterung: $\begin{eqnarray} \mathbb{C}_0 \end{eqnarray}$ bezeichnet die Riemannsche Zahlenkugel, also $\begin{eqnarray} \mathbb{C}_0=\mathbb{C} \cup \{\infty\}. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ist eine stereographische Projektion, die die Einheitssphäre $\begin{eqnarray} S^2 \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C}_0 \end{eqnarray}$ abbildet. Nun weiß ich erst mal nicht, welche Form die stereographische Projektion genau hat. Ich könnte mir diese zwei Versionen vorstellen: 1) $\begin{eqnarray} \pi \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \frac{x_1+ix_2}{x_3-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_3 \neq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = \infty \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \pi \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \frac{x_1+ix_2}{x_3+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_3 \neq -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) = \infty \end{eqnarray}$ Hab leider in der Vorlesung nicht mitgeschrieben. Welche Version ist die "kanonische" bzw. wahrscheinlichere/gebräuchlichere? Ich würde vielleicht die zweite favorisieren, weil dort $\begin{eqnarray} S^1 \subset S^2 \end{eqnarray}$ "richtig herum" auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ abgebildet wird, nämlich so: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right) \mapsto x_1+ix_2, \end{eqnarray}$ bei der ersten Version dagegen so: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right) \mapsto -x_1-ix_2. \end{eqnarray}$ Das nächste Problem ist die Funktion $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray*}$ . Ich habe keine Ahnung, was das sein soll. Vielleicht wurde die heute in der Vorlesung eingeführt, aber die war um 7:30, und da kann doch kein normaler Mensch hingehen. Hat da jemand eine Idee?
11.04.2008, 15:44	Unkraut	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich hab's: $\begin{eqnarray} \chi(z_1,z_2) = \frac{ \vert z_2 - z_1\vert}{ \sqrt{ (1+{\vert z_1\vert}^2)(1+{\vert z_2\vert}^2)}} \end{eqnarray}$
11.04.2008, 15:49	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies ist übrigens die sogenannte chordale Metrik. Daher auch die Bezeichnung $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »