Matrizenrechnung

11.04.2008, 13:12	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenrechnung Hallo Hier erstmal die komplette Aufgabe: Ein Versicherungsunternehmen bietet eine Haftpflichtversicherung für Privatpersonen an. Dabei gibt es drei Tarifklasse A, B und C. Die Tarifklasse C ist die für den Versicherten ungünstigste Klasse und A die günstigste. Bleibt man während eines Kalendejahres schadensfrei, steigt man im folgenden Jahr in die nächstgünstigere Klasse auf; ist man bereits in A, so verbleibt man in ihr. Im Schadensfall (zunächst unabhängig von der Anzahl Schäden in einem Jahr) steigt man in die jeweils nächste, ungünstigere Klasse ab. Ist man bereits in Klasse C eingestuft, so verbleibt man in dieser. Die Gesamtzahl der Versicherten sei konstant. Der folgende Übergangsgraph gibt die Anteile der in den Tarifklassen auf- und absteigender Versicherten an: Da ich nicht weiß wie ich das darstellen soll gebe ich euch direkt die Übergangsmatrix: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} \text{A} \\ \text{B} \\ \text{C} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,5 & 0,6 & 0 \\ 0,5 & 0 & 0,6 \\ 0 & 0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Stellen sie die zugehörige Übergangsmatrix M auf. b) Die Gesamtzahl der Versicherten beträgt über die Jahre konstant 4300. Im Jahr 2000 sind dabei 1500 Versicherte in die Tarifklasse A, 1500 in B und der Rest in C eingestuft. Berechnen Sie die Verteilung im Jahr 2001. Berechnen Sie $\begin{eqnarray} M^2 \end{eqnarray}$ und interpretieren Sie die Bedeutung dieser Produktmatrix für das Sachproblem. c) Ermitteln Sie eine Matrix, mit der man aus einer gegebenen Verteilung die vorjährige berechnen kann und bestimmen Sie damit die Verteilung im Jahr 1999. d) Bestimmen Sie die Verteilung der Versicherten in den jeweiligen Tarifklassen, die sich langfristig einstellen wird. Kontrollergebnis $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1800 \\ 1500 \\ 1000 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ e) Die langfristig sich einstellende Anzahl der Versicherten in der Tarifklasse A ist dem Unternehmen zu hoch. Es beschließt, dass bei zwei oder mehr Schadensfällen pro Jahr ein Versicherter, der sich bisher in der Klasse A befand, direkt nach Klasse C zurückgestuft wird. Wie groß muss der Anteil der Versicherten in Tarifklasse A sein, die direkt nach Klasse C zurückgestuft werden, damit sich langfristig nur noch 1600 Versicherte in Klasse A befinden? Geben Sie auch die neue Übergangsmatrix und die neue langfristige Verteilung an. Mein Gedankengang: Zu a) habe ich die Übergangsmatrix schon aufgestellt. Zu b) Matrix mit dem Vektor multiplizieren. $\begin{eqnarray} M^2 \end{eqnarray}$ zeigt die Verteilung der Versicherten für das Jahr 2001 an. Zu c) Inverse bestimmen. Zu d) Grenzmatrix bestimmen: Eigenvektor zum Eigenwert 1 bestimmen und gleich 4300 setzen. Zu e) Bei e komme ich leider nicht weiter und habe keinen Ansatz. Könnt ihr mir sagen ob der Gedankengang bisjetzt richtig ist und wie ich bei der e vorgehen muss? Wäre sehr nett da ich es für die Prüfung am Dienstag benötigen könnte. Danke im voraus Gruß Musti
11.04.2008, 15:20	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizenrechnung Ich hab während der Zeit ein wenig überlegt und hab einen Vorschlag zu einer Lösung bin mir aber absolut nicht sicher ob sie richtig ist. Nun die neue Matrix müsste so aussehen. $\begin{eqnarray} M_a=\begin{pmatrix} 0,5 & 0,6 & 0 \\ 0,5-a & 0 & 0,6 \\ a & 0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und zwar wissen wir nicht wieviele genau von A nach B zurückgestuft werden aber wir wissen dass es vorher 0,5 waren und nun müssen wir die die direkt zu C zurückgestuft werden abziehen. Wir wissen dass genau a nach von A nach C zurückgestuft werden. Da es hier um eine langfristige Entwicklung geht müssen wir den Eigenwert mit einbeziehen womit die Matrix so aussehen würde. $\begin{eqnarray} M_a(\lambda=1)=\begin{pmatrix} 0,5-1 & 0,6 & 0 \\ 0,5-a & -1& 0,6 \\ a & 0,4 & 0,4-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -0,5 & 0,6 & 0 \\ 0,5-a & -1 & 0,6 \\ a & 0,4 & -0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun muss ich den Eigenvektor bestimmen: I: $\begin{eqnarray} -0,5x_1+0,6x_2=0 \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} (0,5-a)x_1-x_2+0,6x_3=0 \end{eqnarray}$ III: $\begin{eqnarray} ax_1+0,4x_2-0,6x_3=0 \end{eqnarray}$ \ II+III I: $\begin{eqnarray} -0,5x_1+0,6x_2=0 \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} (0,5-a)x_1-x_2+0,6x_3=0 \end{eqnarray}$ III: $\begin{eqnarray} +0,5x_1-0,6x_2=0 \end{eqnarray}$ \ I+III I: $\begin{eqnarray} -0,5x_1+0,6x_2=0 \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} (0,5-a)x_1-x_2+0,6x_3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=t \end{eqnarray}$ I: $\begin{eqnarray} -0,5x_1+0,6t=0 \Rightarrow x_1=1,2t \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} (0,5-a)\cdot 1,2t-t+0,6x_3=0,6t-1,2at-t+0,6x_3=-1,2at-0,4t+0,6x_3=0 \Rightarrow x_3= t\cdot \left(2a+\frac{2}{3}\right) \end{eqnarray}$ Nun erhalte ich den Eigenvektor zum Eigenwert 1. $\begin{eqnarray} \vec{x} =t\cdot \begin{pmatrix} 1,2 \\ 1 \\ 2a+\frac{2}{3} \end{pmatrix}=4300 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1,2t+t+\left(2a+\frac{2}{3}\right)t=t\cdot \left(2a+\frac{43}{15}\right)=4300 \Rightarrow t=\frac{4300}{2a+\frac{43}{15}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x}= \frac{4300}{2a+\frac{43}{15}}\cdot \begin{pmatrix} 1,2 \\ 1 \\ 2a+\frac{2}{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1600 \\ B \\ C \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ I: $\begin{eqnarray} \frac{4300}{2a+\frac{43}{15}}\cdot 1,2=\frac{5160}{2a+\frac{43}{15}}=1600 \Rightarrow a=\frac{43}{240} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\frac{4000}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C=\frac{4100}{3} \end{eqnarray}$ . Die neue Matrix sieht nun so aus: $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} 0,5 & 0,6 & 0 \\ \frac{77}{240} & 0 & 0,6 \\ \frac{43}{240} & 0,4 & 0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann das sein? Ich denke mal das ist nicht richtig.
11.04.2008, 17:42	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch diese Matrix ist vollkommen richtig. Hast du das Buch oder nur ne Kopie? Denn im Buch könntest du die Lösung nachschlagen. Mein Lehrer hat das auch. Naja wir haben die Aufgabe auch vor kurzem gerechnet und die gleiche Matrix für diese neue Verteilung raus. Bei den anderen Aufgaben bin ich auch so vorgegangen wie du.
11.04.2008, 18:20	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank hab leider nur ne kopie aber auf der kopie steht das es die lösungen auf der und der seite zu sehen gibt. Da bin ich aber beruhigt. Cool dass ich sowas lösen konnte

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