Studenten in Reihe verteilen, sodass keiner nebeneinander sitzt

11.04.2008, 16:26

MatheJ

Studenten in Reihe verteilen, sodass keiner nebeneinander sitzt

Hallo,
ich soll errechnen wie groß die wahrscheinlichkeit ist, dass folgendes eintrifft:

die Reihe hat n-Plätze
es existieren m-Studenten
wobei gilt m <= n/2

Nun sollen die Studenten so verteilt werden, dass keiner neben dem anderen sitzt.

Wie gehe ich da vor?

11.04.2008, 16:55

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Alles eine Frage einer geeigneten Bijektion. smile

Betrachte die Verteilungen der $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Studenten auf $\begin{eqnarray*} n-m+1 \end{eqnarray*}$ Plätze OHNE diese Nebenbedingung:

Zitat:

Original von MatheJ
dass keiner neben dem anderen sitzt.

Anschließend fügst du bei einer so erhaltenen Sitzordnung jeweils genau einen zusätzlichen Leerplatz zwischen je zwei Studenten ein, insgesamt also $\begin{eqnarray*} (m-1) \end{eqnarray*}$ Leerplätze. Die Studenten "rutschen" entsprechend weiter...

11.04.2008, 17:07

MatheJ

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Also dann hab ich sowas wie:

n*(n-1)*(n-2)*...(n-m+1)
für die Anzahl der Möglichkeiten der Anordnung ohne Nebenbedingung, oder?

11.04.2008, 17:08

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Nein, das ist falsch - genauer lesen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
... auf $\begin{eqnarray*} n-m+1 \end{eqnarray*}$ Plätze ...

11.04.2008, 17:12

MatheJ

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Ah danke dir, ich glaube ich verstehe.

(n-m+1)! sollte es dann sein, oder? Wenn nicht darfst du mich hauen. Hammer

11.04.2008, 17:15

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Nein, nochmal zurück:

Zitat:

Original von MatheJ
Also dann hab ich sowas wie:

n*(n-1)*(n-2)*...(n-m+1)
für die Anzahl der Möglichkeiten der Anordnung ohne Nebenbedingung, oder?

Was du hingeschrieben hast, ist die Anzahl der freien Verteilungen von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Studenten auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Plätze.

Ich rede die ganze Zeit von der Anzahl der freien Verteilungen von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Studenten auf $\begin{eqnarray*} n-m+1 \end{eqnarray*}$ Plätze. Deine Formel ist also gar nicht so verkehrt von der Struktur, du fängst nur mit dem "falschen" höchsten Faktor an.

"Frei" heißt hier ohne die obige Nebenbedingung.

11.04.2008, 17:23

MatheJ

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Mh, dann (n-m+1)*(n-m)*...(n-2m+1) ?

11.04.2008, 17:58

MatheJ

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Sollte es (n-m+1 über m) / (n über m) sein?

11.04.2008, 20:18

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Zitat:

Original von MatheJ
Mh, dann (n-m+1)*(n-m)*...(n-2m+1) ?

"Fast" richtig - zähl mal genau die Faktoren ... Und ja, man kann es als Quotient von Fakultäten schreiben.

-----------------------

Abgesehen von dem Fakultätenquark ist es wichtig, dass du die oben beschriebene Bijektion zwischen

* den Verteilungen von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Studenten auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Plätze MIT Nebenbedingung

und

* den Verteilungen von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Studenten auf $\begin{eqnarray*} n-m+1 \end{eqnarray*}$ Plätze OHNE Nebenbedingung

wirklich inhaltlich verstanden hast, d.h., dass das tatsächlich eine Bijektion ist und somit die Anzahlen einander gleich sind.

16.04.2008, 18:40

MatheJ

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Danke Arthur Dent!

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