Windschiefe Geraden, bitte um Überprüfung! WAAAH!

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11.10.2005, 16:59	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Windschiefe Geraden, bitte um Überprüfung! WAAAH! Hi, ich sitz seit einer Stunde an einer eigentlich super leichten Aufgabe, die ich aber seit Ewigkeiten nicht gerechnet hab und hab nun 3 verschiedene Ergebnisse! Die Gleichungen sind: (also, das in Klammern sind die Vektoren untereinander) g1: x = (5,4,-4) + r(-2,0,3) g2: x = (8,-1,1) + s(4,1,-3) Man soll herausfinden, ob sich dei Geraden schneiden oder ob sie windschief sind und dann den Schnittpunkt bzw. Abstand berechnen. Ich weiß, dass sie windschief sind, das hab ich ausgerechnet. Jetzt hab ich einmal den Abstand mit Hilfe des Skalarprodukts, da kommt 4,74 raus. Weil ich mir nicht sicher war, hab ich das nochmal anders gemacht: Ebenengleichung aufgestellt und später die Formel für den Abstand Punkt-Ebene, da kam 6,43 raus. Als drittes hab ich die Formel für windschiefe Geraden genommen (hatten wir zwar noch nicht aber hab mir das selber zusammengedichtet) und da ist das Ergebnis 2,14. Ja, jetzt bin ich total verwirrt und wäre dankbar über ein richtiges Ergebnis :-)
11.10.2005, 17:18	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Weder noch. Nach meiner Rechnung kommt als Abstand d=7 raus. Hab es mit der Projektionsformel ausgerechnet, also indem ich den Verbindungsvektor beider Geraden auf einen solchen Vektor projiziere, der zu beiden Richtungsvektoren der Geraden senkrecht ist (Kreuzprodukt). Wenn du einen Rechenweg haben willst ,sag bescheid
11.10.2005, 17:50	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm! Also, in der Formel, die ich benutzt hab war auch Kreuzprodukt drin. Hab aus (-2,0,3) und (4,1,-3) das Kreuzprodukt gerechnet, daraus hatte ich (-3, 6, -2) Dann hab ich (8,-1,1) - (5,4,4) = (3,-5,-3) Die beiden Ergebnisse hab ich skaliert, da kam -15 raus. Dann noch die Wurzel aus (-3)² +6² + (-2)² =7 -15 /7 war dann bei mir 2,142 Hat meine Formelsammlung so gesagt (dachte ich zumindest), scheint ja aber falsch zu sein. Wär echt toll, wenn ich mal deinen Rechenweg haben könnte, finde nämlich in keiner der Aufgaben meinen Fehler!
11.10.2005, 17:52	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Projektionsformel lautet: d= $\begin{eqnarray} \mid \frac{1}{\mid \vec{n} \mid }\vec{n} \vec{GH} \mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n} \ \end{eqnarray}$ steht hier für den zu den Richtungsvektoren von g1 und g2 senkrechten Normalenvektor. $\begin{eqnarray} \vec{n} \ \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Setze hier also jeweils für $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ die entsprechenden Richtungsvektoren aus den Geraden ein und du erhälst den gesuchten Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ Ich weiss natürlich nicht, ob du Grundkurs oder Leistungskurs Mathematik hast. Im Grundkurs macht man das wahrscheinlich anders. Ansonsten kann ich dir auch nen anderen Weg zeigen. Oben war aber dein Stützvektor von der Geraden g1 noch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt müßtest du auch auf d=7 kommen, oder? ....Moment, ich glaube, du vertust dich bei der Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} = \end{eqnarray}$ ((-3)3)+(6(-5))+((-2)5) =-9-30-10=-49 edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
11.10.2005, 18:10	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe zwar Mathe LK, kenne die Formel aber noch nicht. Sieht allerdings recht einfach aus, aber wofür steht $\begin{eqnarray} \vec{GH} \end{eqnarray}$ ? Wir haben das bis jetzt immer so gemacht: 1.) den Normalenvektor bestimmen 2.) Ebene bilden, auf der eine Gerade liegt und die $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ als Normalenvektor hat 3.) Abstand 2. Gerade und Ebene E berechnen Stimmt Dann komm ich auch bei dem Skalarprodukt auf die 10 und dann passt das mit der 7 Danke! edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
16.10.2005, 18:18	aerus	Auf diesen Beitrag antworten »
@ björn82 Hallo Björn, ich wollte nur nachfragen, ob diese Projektionsformel auch bei anderen Abstandsberechnungen einsetzbar ist. Zum Beispiel Ebene/ Ebene, oder Gerade/Ebene ?
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16.10.2005, 18:27	Gust	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehört das nicht in die Geometrie?
16.10.2005, 22:02	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
@ aerus Ja, das ist sie. Man muss nur entsprechend den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{GH} \end{eqnarray}$ wählen: Ebene / Ebene: G ist dabei irgendein Punkt aus der einen Ebene und H irgendein Punkt der anderen Ebene Gerade / Ebene: G ist dabei irgendein Punkt der Geraden und H irgendein Punkt der Ebene Darüberhinaus ist es mit dieser Formel auch recht effektiv beispielsweise solche Punkte einer Geraden zu bestimmen, die einen bestimmten Abstand von einer Ebene haben. (Also wenn sich eine Ebene und eine Gerade schneiden). Hier muss man dann nur die allgemeinen Koordinaten der Geraden als Punkt G auffassen, also : für eine Gerade g: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ folgt G= $\begin{eqnarray} (a_1+\lambda b_1 / a_2+\lambda b_2 / a_3+\lambda b_3) \end{eqnarray}$ Gruß Björn
19.10.2005, 15:03	aerus	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Bjoern1982 Danke für die Antwort! Und wie muss man mit der Formel arbeiten, wenn man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden oder Punkt/Ebene bestimmen will?

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