vollständige Induktion

11.10.2005, 19:03

ledeyna

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vollständige Induktion

hallo, ich komm bei diesem induktionsnachweis für n+1 nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}}) \end{eqnarray*}$ das iritiert mich, wie soll ich denn diese klammer verwenden? kann ich das anders darstellen?

Induktionsvorraussetzung ist :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~\frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

für n+1:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}}) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

wie komm ich hier weiter?
wäre nett, wenn mir jmd weiterhelfen würde...

11.10.2005, 19:29

irre.flexiv

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Die Induktionsbehauptung lauten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ist es was du beweisen musst. Und vergiss den Induktionsanfang nicht.

11.10.2005, 20:36

ledeyna

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genau, den induktionsanfang hab ich ja schon gemacht.
mein problem ist eben, wie ich von der gleichung, die ich aufgeschrieben hatte zu deinem ende komme??? verwirrt

verwirrt

11.10.2005, 20:43

irre.flexiv

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Achso, du machst es also ganz korrekt *g
(Mann kann auch von der Behauptung ausgehen und dieso so umformen das man die Voraussetzung entsteht. Das ist oft praktischer. Aber man muss immer erwähnen das die Beweisrichtung jeweils umgedreht ist.)

Versuch doch mal $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ auf einen Nenner zu bringen und mach dann eine Abschätzung.

11.10.2005, 20:46

ledeyna

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RE: vollständige Induktion

Zitat:

Original von ledeyna
hallo, ich komm bei diesem induktionsnachweis für n+1 nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}}) \end{eqnarray*}$ das iritiert mich, wie soll ich denn diese klammer verwenden? kann ich das anders darstellen?

Induktionsvorraussetzung ist :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~\frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

für n+1:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}}) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

wie komm ich hier weiter?
wäre nett, wenn mir jmd weiterhelfen würde...

11.10.2005, 20:47

ledeyna

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RE: vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}}) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

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11.10.2005, 20:48

irre.flexiv

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?

11.10.2005, 20:51

ledeyna

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RE: vollständige Induktion

Zitat:

Original von ledeyna
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}}) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

upssss sorryyy Hammer

Hammer

also ich würde hier jetzt einfach, auf beiden seiten, mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren, oder????

aber was wird aus der grossen klammer?

11.10.2005, 20:56

irre.flexiv

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Nein, die linke Seite ist jetzt "fertig".

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

Genau das steht auf der linken Seite der Behauptung und die willst du ja haben.

Und jetzt

Zitat:

Versuch doch mal $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ auf einen Nenner zu bringen und mach dann eine Abschätzung.

11.10.2005, 21:18

ledeyna

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hmmmm, keine ahnung,vielleicht soo?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ +1

11.10.2005, 21:47

irre.flexiv

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Wir sind doch jetzt bei der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ angekommen.

Da zu multiplizieren würde die linke Seite auch ändern. Nee jetzt mal ernsthaft, weisst du nicht wie man 2 Brüche auf einen Nenner bringt? Stichwort: Erweitern

.

11.10.2005, 21:54

ledeyna

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ok was hab ich aber davon???

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}*\sqrt{n+1} }{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

11.10.2005, 22:06

irre.flexiv

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Jetzt kommt die Abschätzung ins Spiel.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}*\sqrt{n+1} }{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{ \sqrt{n+1}} \geq \frac{\sqrt{n}*\sqrt{n} }{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{ \sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch ein bischen umformen und die Behauptung steht da.

11.10.2005, 22:41

ledeyna

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hey stimmt

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

aber hat sich daa auf der linken seite denn nichts geändert?
naja, auf jeden fall dankeschöööön für deine hilfe smile

smile

11.10.2005, 23:09

irre.flexiv

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Zitat:

aber hat sich daa auf der linken seite denn nichts geändert?

Nö, hier nochmal der komplette Rechenweg.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ (Voraussetzung)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \geq \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n}*\sqrt{n+1} }{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{ \sqrt{n+1}} \geq \frac{\sqrt{n}*\sqrt{n} }{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{ \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

11.10.2005, 23:25

ledeyna

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dankeschööön, jetzt ist wirklich alles völlig klar und nachvollziehbar geworden!

Mit Zunge

Mit Zunge

12.10.2005, 01:22

Mathespezialschüler

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Die Aussage, die du bewiesen hast, ist übrigens sehr schwach. Es gilt ja sogar

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k}}>2\sqrt{n+1}-2 \end{eqnarray*}$ .

Siehe [Workshop] Vollständige Induktion.

Gruß MSS

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